Bài 3.24 trang 81 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với \({u_n} = \frac{{1 + 2 + . + n}}{{n + 2}} - \frac{n}{2}, \...

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{1 + 2 + ... + n}}{{n + 2}} - \frac{n}{2},\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}$ có giới hạn là

A. $- \frac{1}{2}.$

B. $\frac{1}{2}.$

C. $- 1.$

D. $1.$

Tổng có $n$ số tự nhiên đầu tiên là $\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$

Đây là giới hạn của dãy số, thực hiện bằng cách chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$

Ta có $1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$

$\Rightarrow {u_n} = \frac{{1 + 2 + ... + n}}{{n + 2}} - \frac{n}{2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2\left( {n + 2} \right)}} - \frac{n}{2} = \frac{{ - n}}{{2\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{ - n}}{{2n + 4}}$

Ta có $\lim {u_n} = \lim \frac{{ - n}}{{2n + 4}} = \lim \frac{{ - 1}}{{2 + \frac{4}{n}}} = - \frac{1}{2}$

Đáp án A