Bài 3.19 trang 80 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Xét tính liên tục của các hàm số sau đây tại điểm ${x_0}$...

Xét tính liên tục của các hàm số sau đây tại điểm ${x_0}$:

a) $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \frac{x}{2}\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 1\end{array} \right.$ tại ${x_0} = 1$

b) $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}}\,\,\,\,khi\,\,x 2\end{array} \right.$ tại ${x_0} = 2$

Hàm số liên tục tại $x = {x_0}$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

Khử dạng vô định $\frac{0}{0}$ bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử

a) Tập xác định $D = \mathbb{R}$

+ Với ${x_0} = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \frac{{1 - 2}}{{1 + 1}} = - \frac{1}{2}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} - \frac{x}{2} = - \frac{1}{2}$

Suy ra, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$ cùng bằng $- \frac{1}{2}$. Do đó hàm số liên tục tại ${x_0} = 1$

b) Tập xác định $D = \mathbb{R}$

+ Với ${x_0} = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = - 3$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {1 - 2x} \right) = 1 - 2.2 = - 3$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} - \left( {x + 2} \right) = - 4$

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)$ vì $- 3 \ne 4$ do đó hàm số $y = f\left( x \right)$ không liên tục tại ${x_0} = 2$