Bài 8.30 trang 83 Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá: Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm...

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a và điểm A’ cách đều các điểm A, B, C. Biết AA’ = 2a, tính thể tích khối lăng trụ này.

Công thức tính thể tích hình lăng trụ: V = S.h với S là diện tích đáy, h là chiều cao.

Gọi D là trung điểm của AC, G là trọng tâm tam giác ABC

A’.ABC là chóp tam giác đều nên A’G vuông góc với (ABC). Suy ra A’G là chiều cao của hình lăng trụ

Tam giác ABC đều có cạnh bằng a nên BD vuông góc với AC

Ta có: $BD = \sqrt {A{B^2} - A{D^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{1}{2}a} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a$

$BG = \frac{2}{3}BD = \frac{{\sqrt 3 }}{3}a$

Xét tam giác vuông A’BG vuông tại G có:

$A’G = \sqrt {A'{B^2} - B{G^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}a} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {33} }}{3}a$

$V = S.h = \frac{1}{2}.BD.AC.A’G = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}a.a.\frac{{\sqrt {33} }}{3}a = \frac{{\sqrt {11} }}{4}{a^3}$