Hoạt động 2
a) Trên một đường tròn, cung nửa đường tròn có số đo bằng bao nhiêu radian? Góc ở tâm chắn cung nửa đường tròn có số đo bằng bao nhiêu radian?
b) Từ đó tìm mối liên hệ giữa đơn vị độ và đơn vị radian.
- Theo lý thuyết, cung có độ dài bằng r (bán kính) là cung có số đo 1 rad.
\( \Rightarrow \) Cung có độ dài \(l\) thì có số đo là \(\frac{l}{r}\) rad.
- Cung nửa đường tròn có độ dài là \(\pi r\).
- Theo lý thuyết, góc ở tâm chắn cung có số đo 1 rad là góc có số đo 1 rad.
\( \Rightarrow \)Góc ở tâm chắn cung có số đo \(\alpha \) rad là góc có số đo \(\alpha \) rad.
a) Nửa đường tròn có độ dài là \(\pi r\) \( \Rightarrow \) Cung nửa đường tròn có số đo là \(\frac{{\pi r}}{r} = \pi \) rad.
Do đó góc ở tâm chắn nửa đường tròn có số đo là \(\pi \) rad.
b) Nửa đường tròn có số đo là \(\pi \) rad
Mà số đo nửa đường tròn còn bằng 1800
\( \Rightarrow \)\({180^0} = \pi \) rad
\( \Rightarrow {1^0} = \frac{\pi }{{180}}\) rad; 1 rad \( = {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^0}\).
Luyện tập 1
Đổi 5 rad và \(\frac{\pi }{8}\) rad ra độ.
Áp dụng công thức: \(\alpha \)rad = \({\left( {\alpha .\frac{{180}}{\pi }} \right)^0}\)
5 rad = \({\left( {5.\frac{{180}}{\pi }} \right)^0} = {\left( {\frac{{900}}{\pi }} \right)^0}\)
\(\frac{\pi }{8}\) rad = \({\left( {\frac{\pi }{8}.\frac{{180}}{\pi }} \right)^0} = 22,{5^0}\)
Hoạt động 3
Trên đường tròn bán kính r, hãy tính:
a) Độ dài của cung nửa đường tròn;
b) Độ dài của cung có số đo \(\alpha \) rad.
Công thức tính độ dài cung là: \(l = \frac{{\pi Rn}}{{180}}\), trong đó \({n^0}\) là số đo cung cần tìm.
Áp dụng công thức: \(\alpha \)rad = \({\left( {\alpha .\frac{{180}}{\pi }} \right)^0}\)
a) Cung nửa đường tròn có số đo là 1800
Độ dài của cung nửa đường tròn là \(l = \frac{{\pi r180}}{{180}} = \pi r\).
b) \(\alpha \)rad = \({\left( {\alpha .\frac{{180}}{\pi }} \right)^0}\)
\(l = \frac{{\pi r}}{{180}}.\frac{{180\alpha }}{\pi } = \alpha r\).
Vận dụng
Một bức tường của một ngôi nhà có dạng như Hình 1.7, trong đó cung AB là một cung của đường tròn tâm C, bán kính AC. Tính chu vi của bức tường.
- Chu vi bức tường gồm phần độ dài cung , AH, BK và HK.
- Áp dụng công thức: Trên đường tròn có bán kính \(r\), cung có số đo \(\alpha \) rad có độ dài \(l = \alpha r\).
- Định lý Py – ta – go cho tam giác vuông: Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Gọi điểm H, K như trên hình
AB = 18m \( \Rightarrow \)HK = 18m \( \Rightarrow \)CK = 9m
\(\Rightarrow BC = \sqrt {B{K^2} + C{K^2}} = \sqrt {{5^2} + {9^2}} = \sqrt {106} \Rightarrow r = \sqrt {106} \) (m)
Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{BK}}{{CK}} = \frac{5}{9}\) \( \Rightarrow \alpha \approx 0,507 rad\)
\(\theta = \pi - 2\alpha = \pi - 2.0,507 \approx 2,128 rad\)
\( \Rightarrow \) Cung AB có độ dài là: \(l = \theta r = 2,128.\sqrt {106} \approx 21,91\)(m)
Vậy chu vi bức tường là: 21,91+5+5+18=49,91 (m)
Hoạt động 4
Hãy xác định số đo của mỗi cung lượng giác (A đến B) khi điểm M di động trên đường tròn từ A đến B trong Hình 1.1.
Advertisements (Quảng cáo)
- Khi điểm M di động trên đường tròn theo chiều dương từ A đến B tạo nên cung \(\frac{1}{4}\) đường tròn nên có số đo là \(\frac{\pi }{2}\). M đi tiếp mỗi vòng thì thêm \(2\pi \).
- Khi điểm M di động trên đường tròn theo chiều âm từ A đến B tạo nên cung \(\frac{3}{4}\) đường tròn nên có số đo là \( - \frac{{3\pi }}{2}\).
a) Cung lượng giác AB (A đến B) có số đo là \(\frac{\pi }{2}\).
b) Cung lượng giác AB (A đến B) có số đo là \(\frac{\pi }{2} + 2\pi = \frac{{5\pi }}{2}\).
c) Cung lượng giác AB (A đến B) có số đo là \(\frac{\pi }{2} + 2.2\pi = \frac{{9\pi }}{2}\).
d) Cung lượng giác AB (A đến B) có số đo là \( - \frac{{3\pi }}{2}\).
Luyện tập 2
Tính số đo của mỗi góc lượng giác (OA, OB) trong Hình 1.1.
Theo lý thuyết, số đo của góc lượng giác (OA, OB)là số đo cung lượng giác (A đến B). Kí hiệu: sđ(OA, OB).
a) Cung lượng giác AB (A đến B) có số đo là \(\frac{\pi }{2}\). Vậy sđ(OA, OB) =\(\frac{\pi }{2}\).
b) Cung lượng giác AB (A đến B) có số đo là \(\frac{\pi }{2} + 2\pi = \frac{{5\pi }}{2}\). Vậy sđ(OA,OB) = \(\frac{{5\pi }}{2}\).
c) Cung lượng giác AB (A đến B) có số đo là \(\frac{\pi }{2} + 2.2\pi = \frac{{9\pi }}{2}\). Vậy sđ(OA,OB) = \(\frac{{9\pi }}{2}\).
d) Cung lượng giác AB (A đến B) có số đo là \( - \frac{{3\pi }}{2}\). Vậy sđ(OA,OB) = \( - \frac{{3\pi }}{2}\).
Hoạt động 5
Giả sử sđ(OA, OB) = \(\frac{\pi }{3}\) và sđ(OB, OC) = \(\frac{\pi }{4}\)(Hình 1.11). Xác định sđ(OA, OC).
Áp dụng hệ thức Chasles: sđ(OA, OB) + sđ(OB, OC) = sđ(OA, OC) + \(k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Áp dụng hệ thức Chasles: sđ(OA, OB) + sđ(OB, OC) = sđ(OA, OC) + \(k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3} = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Luyện tập 3
Nếu góc lượng giác (OA, OB) và (OA, OC) lần lượt có số đo là \( - \frac{{7\pi }}{4}\) và \(\frac{{13\pi }}{4}\) thì góc lượng giác (OB, OC) có số đo bằng bao nhiêu, biết rằng \(4\pi
Áp dụng hệ quả của hệ thức Chasles: sđ(OB, OC) = sđ(OA, OC) - sđ(OA, OB) + \(k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Áp dụng công thức: sđ(OB, OC) = sđ(OA, OC) - sđ(OA, OB) + \(k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow - \frac{{7\pi }}{4} - \frac{{13\pi }}{4} + k2\pi = - 5\pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Mà \(4\pi
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\pi
Vậy sđ(OB, OC) = \( - 5\pi + 5.2\pi = 5\pi \)
Hoạt động 6
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 1 và tìm giao điểm của nó với các trục tọa độ.
Vẽ hình và quan sát
Đường tròn tâm O cắt trục Ox tại điểm A(1;0) và B(-1;0), cắt Oy tại điểm C(0;-1) và D(0;1).
Luyện tập 4
Trên đường tròn lượng giác, tìm điểm biểu diễn của các góc lượng giác có số đo sau:
a) \(\frac{{19\pi }}{3}\)
b) \( - {1125^0}\)
- Đường tròn lượng giác có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, lấy điểm A(1;0) là gốc của đường tròn.
- Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\alpha \) là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ(OA, OM) = \(\alpha \).
a) \(\frac{{19\pi }}{4} = \frac{{3\pi }}{4} + 4\pi \)
Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\frac{{19\pi }}{3}\) là điểm C(0;-1).
b) \( - {1125^0} = - {45^0} - {3.360^0}\)
Vậy điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo \( - {1125^0}\) là điểm chính giữa B của cung nhỏ .