Hoạt động 2
Trong Hình 1.45, xét đường thẳng \(y = m\left( { - 1 \le m \le 1} \right)\) và đồ thị hàm số \(y = \sin x\).
a) Dựa vào Hình 1.45, cho biết trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), đồ thị hàm số \(y = \sin x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.
b) Biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sin x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).
Quan sát hình vẽ để trả lời câu hỏi.
a) Dựa vào Hình 1.45, trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), đồ thị hàm số \(y = \sin x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \(a\) và \(\pi - a\).
b) Hoành độ của tất cả các giao điểm lần lượt từ trái sang phải là \( - 3\pi - a;a - 2\pi ; - \pi - a;a;\pi - a;a + 2\pi ;3\pi - a\).
Luyện tập 3
Giải các phương trình sau:
a) \(\sin x = \frac{1}{3};\)
b) \(\sin 2x = - \frac{1}{2};\)
c) \(\sin \left( {x + {{30}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\begin{array}{l}\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
a)
\(\begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \sin x = \sin 0,34\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0,34 + k2\pi \\x = \pi - 0,34 + k2\pi \approx 2,8 + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = 0,34 + k2\pi ,x = 2,8 + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
b)
\(\begin{array}{l}\sin 2x = - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
c)
\(\begin{array}{l}\sin \left( {x + {{30}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + {{30}^0}} \right) = \sin \left( {{{45}^0}} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + {30^0} = {45^0} + k{360^0}\\x + {30^0} = {180^0} - {45^0} + k{360^0} = {135^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {15^0} + k{360^0}\\x = {180^0} - {45^0} - {30^0} + k{360^0} = {105^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = {15^0} + k{360^0},x = {105^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Luyện tập 4
Giải phương trình: \(\sin 4x = - \sin \left( {\pi - x} \right)\).
\(\begin{array}{l}\sin x = - \sin \alpha \\ \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \alpha } \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \alpha + k2\pi \\x = \pi + \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\sin 4x = - \sin \left( {\pi - x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 4x = \sin \left( { - \pi + x} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = - \pi + x + k2\pi \\x = \pi - \left( { - \pi + x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \pi + k2\pi \\2x = 2\pi + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \pi + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3},x = \pi + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vận dụng 1
Giả sử số lượng N của một loài hươu sau t năm được xác định bởi công thức
\(N = 30000 + 20000\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right)\)
Xác định năm đầu tiên mà số lượng của loài hươu này bằng 50 nghìn con theo công thức trên.
Thay N = 50000 vào phương trình. Giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm t.
Thay N = 50000 vào phương trình, ta có:
\(\begin{array}{l}30000 + 20000\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right) = 50000\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right)\\ \Rightarrow \frac{{\pi t}}{{10}} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow t = 5 + k20\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy sau 5 năm đầu tiên thì số lượng của loài hươu này bằng 50 nghìn con.
Hoạt động 3
Trong Hình 1.46, xét đường thẳng \(y = m\left( { - 1 \le m \le 1} \right)\) và đồ thị hàm số \(y = \cos x\).
a) Dựa vào Hình 1.46, cho biết trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\), đồ thị hàm số \(\cos x = m\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.
b) Biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cos x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).
Quan sát hình vẽ để trả lời câu hỏi.
a) Dựa vào Hình 1.46, trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\), đồ thị hàm số \(\cos x = m\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \( - a\) và \(a\).
b) Hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cos x\) và đường thẳng \(y = m\) lần lượt từ trái sang phải là \( - a - 2\pi ;a - 2\pi ; - a;a; - a + 2\pi ;a + 2\pi \).
Luyện tập 5
Giải các phương trình sau:
a) \(\cos 2x = \cos \frac{\pi }{3};\)
b) \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1;\)
c) \(\cos \left( {x - {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
\(\begin{array}{l}\cos x = m\\ \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
a)
\(\begin{array}{l}\cos 2x = \cos \frac{\pi }{3}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b)
\(\begin{array}{l}\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \pi + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c)
\(\begin{array}{l}\cos \left( {x - {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {x - {{45}^0}} \right) = \cos \left( {{{30}^0}} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - {45^0} = {30^0} + k{360^0}\\x - {45^0} = - {30^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {75^0} + k{360^0}\\x = {15^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = {75^0} + k{360^0},x = {15^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Luyện tập 6
Giải phương trình sau: \(\sin 5x = - \cos \left( {\pi + x} \right).\)
Advertisements (Quảng cáo)
Đưa phương trình về dạng \(\cos x = \cos \alpha \)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(\begin{array}{l}\sin 5x = - \cos \left( {\pi + x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right) = \cos \left( {\pi + x} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - 5x = \pi + x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - 5x = - \pi - x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 6x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ - 4x = - \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} - k\frac{\pi }{3}\\x = \frac{{3\pi }}{8} - k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{{12}} - k\frac{\pi }{3},x = \frac{{3\pi }}{8} - k\frac{\pi }{2}\)
Vận dụng 2
Cường độ dòng điện i (ampe) qua một mạch điện xoay chiều được tính bởi công thức \(i = 10\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t} \right),\) trong đó t là thời gian tính bằng giây. Xác định thời điểm đầu tiên cường độ dòng điện bằng 10 ampe.
Thay i = 10 vào công thức. Giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm t.
Thay i = 10 vào công thức, ta có:
\(\begin{array}{l}10\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t} \right) = 10\\ \Leftrightarrow \cos \left( {100\pi t} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {100\pi t} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}100\pi t = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\100\pi t = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{{400}} + \frac{k}{{50}}\\t = - \frac{1}{{400}} + \frac{k}{{50}}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy thời điểm đầu tiên cường độ dòng điện bằng 10 ampe là \(\frac{1}{{400}}\) giây.
Hoạt động 4
Trong Hình 1.47, xét đường thẳng \(y = m\) và đồ thị hàm số \(y = \tan x\).
a) Dựa vào Hình 1.47, cho biết trên đoạn \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), đồ thị hàm số \(y = \tan x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.
b) Biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \tan x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).
Quan sát hình vẽ để trả lời.
a) Dựa vào Hình 1.47, trên đoạn \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), đồ thị hàm số \(y = \tan x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \(a\).
b) Hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \tan x\) và đường thẳng \(y = m\) lần lượt từ trái sang phải là \(a - 2\pi ,a - \pi ,a,a + \pi ,a + 2\pi \).
Luyện tập 7
Giải các phương trình sau:
a) \(\tan 3x = 1;\)
b) \(\tan 4x = - 1,5;\)
c) \(\tan \left( {x + {{15}^0}} \right) = - \sqrt 3 .\)
\(\begin{array}{l}\tan x = m\\ \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \\ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
a)
\(\begin{array}{l}\tan 3x = 1\\ \Leftrightarrow \tan 3x = \tan \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) Gọi a là góc lượng giác thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) thỏa mãn \(\tan 4x = - 1,5\)
\(\begin{array}{l}\tan 4x = \tan a\\ \Leftrightarrow 4x = a + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \frac{a}{4} + k\frac{\pi }{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{a}{4} + k\frac{\pi }{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c)
\(\begin{array}{l}\tan \left( {x + {{15}^0}} \right) = - \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \tan \left( {x + {{15}^0}} \right) = \tan \left( { - {{60}^0}} \right)\\ \Leftrightarrow x + {15^0} = - {60^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = - {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vận dụng 3
Một người dẫn em gái của mình đến công viên để chơi xích đu. Lực đẩy theo phương ngang F (N) mà người đó dùng để đẩy em gái trong trò chơi này được xác định bởi công thức \(F = mg\tan \theta \), trong đó m (kg) là khối lượng của em gái, g là gia tốc trọng trường và \(\theta \) là góc tạo bởi xích đu khi bắt đầu được đẩy với phương thẳng đứng (Hình 1.49) (nguồn: https://www.khanacademy.org/science/physics/centripetal-force-and-gravitation/centripetal-forces/v/mass-swiging-in-a-horizontal-circle). Xác định góc \(\theta \) khi \(F = 400\sqrt 3 \)N, m = 40 kg và g = 10 m/s2.
Thay \(F = 400\sqrt 3 \), m = 40 và g = 10 vào công thức. Giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm \(\theta \).
\(\begin{array}{l}400\sqrt 3 = 40.10.\tan \theta \\ \Leftrightarrow \tan \theta = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \tan \theta = \tan {60^0}\\ \Leftrightarrow \theta = {60^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy \(\theta = {60^0}\)
Hoạt động 5
Trong Hình 1.50, xét đường thẳng \(y = m\)và đồ thị hàm số \(y = \cot x\).
a) Dựa vào Hình 1.50, cho biết trên đoạn \(\left( {0;\pi } \right)\), đồ thị hàm số \(y = \cot x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.
b) Biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cot x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).
Quan sát hình vẽ để trả lời.
a) Dựa vào Hình 1.50, trên đoạn \(\left( {0;\pi } \right)\), đồ thị hàm số \(y = \cot x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \(a\).
b) Hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cot x\) và đường thẳng \(y = m\) lần lượt từ trái sang phải là \(a - 2\pi ,a - \pi ,a,a + \pi \).
Luyện tập 8
Giải các phương trình sau:
a) \(\cot 2x = - 1;\)
b) \(\cot 6x = 4;\)
c) \(\cot \left( {x - {{45}^0}} \right) = \sqrt 3 .\)
\(\begin{array}{l}\cot a = m \Leftrightarrow \cot a = \cot b\\ \Leftrightarrow a = b + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
a)
\(\begin{array}{l}\cot 2x = - 1\\ \Leftrightarrow \cot 2x = \cot \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\ \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) Gọi a là góc lượng giác thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) thỏa mãn \(\cot 6x = 4\)
\(\begin{array}{l}\cot 6x = \cot a\\ \Leftrightarrow 6x = a + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \frac{a}{6} + k\frac{\pi }{6}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{a}{6} + k\frac{\pi }{6}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c)
\(\begin{array}{l}\cot \left( {x - {{45}^0}} \right) = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \cot \left( {x - {{45}^0}} \right) = \cot \left( {{{30}^0}} \right)\\ \Leftrightarrow x - {45^0} = {30^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)