Mục 2 trang 39, 40, 41, 42 Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá: Hàm số $y = {e^{3x - {x^2}}}$ là hàm hợp của hai hàm số nào?...

Hoạt động 2

Cho hàm số $u(x) = {x^2}$ và $v(x) = x$

a, Tính ${u’}(x)$ và ${v’}(x)$

b, Ở Ví dụ 4 của Bài 1 ta đã biết ${({x^2} + x)’} = 2x + 1$. Có nhận xét gì về mối liên hệ ${{\rm{[}}u(x) + v(x){\rm{]}}’}$ và ${u’}(x)$+ ${v’}(x)$

Áp dụng công thức ${({x^n})’} = n.{x^{n - 1}}$

a, Ta có: ${({x^2})’} = 2.{x^{2 - 1}} = 2x$

${x’} = 1.{x^{1 - 1}} = 1$

b, Từ kết quả câu a, ta có: ${{\rm{[}}u(x) + v(x){\rm{]}}’}$= ${u’}(x)$+ ${v’}(x)$

Luyện tập 2

Tính ${f’}(1)$ và ${f’}(4)$biết $f(x) = {x^2} + \sqrt x - \frac{1}{x}$

Tính ${f’}(x)$ dựa vào công thức: ${({x^n})’} = n.{x^{n - 1}}$, ${(\sqrt x )’} = \frac{1}{{2\sqrt x }}$ và ${(\frac{1}{x})’} = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}}$

Thay x=1, x=4 để tính ${f’}(1)$, ${f’}(4)$

Ta có: ${f’}(x) = {({x^2} + \sqrt x - \frac{1}{x})’} = 2x + \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}}}$

${f’}(1) = 2.1 + \frac{1}{{2.1}} + \frac{1}{{{1^2}}} = 2 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{7}{2}$

${f’}(4) = 2.4 + \frac{1}{{2.\sqrt 4 }} + \frac{1}{{{4^2}}} = 8 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} = \frac{{133}}{{16}}$

Hoạt động 3

Cho hàm số $u(x) = {x^3}$ và $v(x) = {x^2}$

a, Tính đạo hàm của hàm số y= u(x).v(x)

b, Hoàn thành bảng 7.2

c, So sánh kết quả câu a và b và rút ra nhận xét.

a, Tính u(x). v(x) rồi tính đạo hàm theo công thức ${({x^n})’} = n.{x^{n - 1}}$

b, Tính ${u’}(x)$ và ${v’}(x)$ theo công thức ${({x^n})’} = n.{x^{n - 1}}$ và hoàn thành bảng

a, Ta có: $u(x).v(x) = {x^3}.{x^2} = {x^5}$

$\Rightarrow {{\rm{[}}u(x).v(x){\rm{]}}’} = {({x^5})’} = 5{x^4}$

b, Bảng 7,2

c, Nhận xét: ${{\rm{[}}u(x).v(x){\rm{]}}’} =$${u’}(x).v(x) + u(x).{v’}(x)$

Luyện tập 3

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a, $y = ( - 2{x^2} + 3x + 1).\sqrt x$

b, $y = \frac{{2{x^2} - 1}}{{1 - 3x}}$

Áp dụng công thức đạo hàm: ${(u.v)’} = {u’}.v + u.{v’}$

${(\frac{u}{v})’} = \frac{{{u’}.v - u.{v’}}}{{{v^2}}}$

a, Ta có: $\begin{array}{l}{y’} = {( - 2{x^2} + 3x + 1)’}.\sqrt x + ( - 2{x^2} + 3x + 1).{(\sqrt x )’}\\ = ( - 4x + 3).\sqrt x + ( - 2{x^2} + 3x + 1).\frac{1}{{2\sqrt x }}\\ = - 4x\sqrt x + 3\sqrt x - x\sqrt x + \frac{3}{2}\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }}\\ = - 5x\sqrt x + \frac{9}{2}\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }}\end{array}$

b, Ta có: $\begin{array}{l}{y’} = \frac{{{{(2{x^2} - 1)}’}.(1 - 3x) - (2{x^2} - 1).{{(1 - 3x)}’}}}{{{{(1 - 3x)}^2}}}\\ = \frac{{4x.(1 - 3x) - (2{x^2} - 1).( - 3)}}{{{{(1 - 3x)}^2}}} = \frac{{4x - 12{x^2} + 6{x^2} - 3}}{{{{(1 - 3x)}^2}}}\\ = \frac{{4x - 6{x^2} - 3}}{{{{(1 - 3x)}^2}}}\end{array}$

Vận dụng 1

Điện lượng Q ( đơn vị: C) truyền trong một dây dẫn tại thời điểm t ( giây) được tính bởi $Q(t) = {t^3} - 3{t^2} + 5t + 1$. Biết rằng cường độ dòng điện tại thời điểm t là I(t) ( đơn vị :A) có giá trị bằng với ${Q’}(t)$

a, Tính cường độ dòng điện tại thời điểm $t = \frac{1}{2}$ giây và t= 2 giây. Tại thời điểm nào thì cường độ dòng điện lớn hơn.

b, Tìm thời điểm mà cường độ dòng điện đạt giá trị nhỏ nhất.

a, Tính I(t) = ${Q’}(t)$. Thay giá trị $t = \frac{1}{2}$ và t= 2

b, Áp dụng hằng đẳng thức tìm min.

a, Ta có: I(t) = ${Q’}(t) = {({t^3} - 3{t^2} + 5t + 1)’} = 3{t^2} - 6t + 5$

Thay giá trị $t = \frac{1}{2}$ và t= 2 ta được:

$I(\frac{1}{2}) = 3.{(\frac{1}{2})^2} - 6.\frac{1}{2} + 5 = \frac{3}{4} - 3 + 5 = \frac{{11}}{4}$

$I(2) = {3.2^2} - 6.2 + 5 = 5$

b, Ta có: $I(t) = 3{t^2} - 6t + 5 = 3.({t^2} - 2t + 1) + 2 = 3.{(t - 1)^2} + 2$

Vì ${(t - 1)^2} \ge 0 \Rightarrow 3.{(t - 1)^2} + 2 \ge 2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của cường độ dòng điện là 2(A) tại t= 2 giây.

Hoạt động 4

Cho hai hàm số $f(u) = {u^4}$ và $u(x) = 2{x^2} + 1$

a, Tính giá trị của u(1) và f(u(1)

b, Trong biểu thức của f(u), nếu ta thay biến u bởi u(x) thì ta thu được một biểu thức theo biến x. Hãy viết ra biểu thức này.

Thay x=1 để tính u(1) và thay u(1) để tính f(u(1))

a, Thay x=1 ta được: $u(1) = {2.1^2} + 1 = 3$

Thay u(1)=3 vào f(u) ta được: f(u(1))=${3^4} = 81$

b, Ta có: $f(u) = {u^4} = {(2{x^2} + 1)^4}$

Luyện tập 4

Hàm số $y = {e^{3x - {x^2}}}$ là hàm hợp của hai hàm số nào?

Hàm số là hàm hợp của ${e^u}$ và $u = 3x - {x^2}$

Hàm số là hàm hợp của ${e^u}$ và $u = 3x - {x^2}$

Hoạt động 5

Cho hàm số $f(u) = {u^2}$ và $u(x) = {x^2} + 1$. Hàm hợp của hàm số f và u là $y = f(u(x)) = {({x^2} + 1)^2}$

a, Tìm ${y’}$bằng cách khai triển biểu thức ${({x^2} + 1)^2}$và áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm tổng

b, Một học sinh cho rằng: Vì ${({u^2})’} = 2u$ nên ${y’} = {\rm{[}}{({x^2} + 1)^2}{\rm{]}} = 2({x^2} + 1)$. Kết quả này đúng hay sai.

c, Tính ${f’}(u).{u’}(x)$ và so sánh kết quả ${y’}$ ở câu a, sau đó rút ra nhận xét.

a, Sử dụng khai triển hằng đẳng thức và áp dụng quy tắc tính đạo hàm

b, Dụa vào kết quả câu a và kết luận

c, Tính ${f’}(u).{u’}(x)$

a, Ta có: ${({x^2} + 1)^2} = {x^4} + 2{x^2} + 1$

$\Rightarrow {y’} = {({x^4} + 2{x^2} + 1)’} = 4{x^3} + 4x$

b, Kết quả của câu b là sai

c, Ta có:

$\begin{array}{l}f'(u) = 2u\\u'(x) = 2x\\ \Rightarrow f'(u).u'(x) = 2u.2x = 2.({x^2} + 1).2x = 4{x^3} + 4x\end{array}$

Nhận xét: $f'(x) = f'(u).{u’}(x)$

Luyện tập 5

Tính đạo hàm các hàm số sau: a, $y = \sqrt {7 - 3x}$

b, $y = {(2\sqrt x + \frac{1}{x})^3}$

Sử dụng đạo hàm của hàm hợp $f'(x) = f'(u).{u’}(x)$ và các quy tắc tính đạo hàm

a, Ta có: ${y’} = {(\sqrt {7 - 3x} )’} = \frac{1}{{2\sqrt {7 - 3x} }}.{(7 - 3x)’} = \frac{{ - 3}}{{2.\sqrt {7 - 3x} }}$

b, Ta có: $\begin{array}{l}{y’} = 3.{(2\sqrt x + \frac{1}{x})^2}.{(2\sqrt x + \frac{1}{x})’} = 3.(2\sqrt x + \frac{1}{x}).(2.\frac{1}{{2\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^2}}})\\ = 3.(2.\sqrt x + \frac{1}{x}).(\frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^2}}})\end{array}$