Hoạt động 2
Cho hàm số \(u(x) = {x^2}\) và \(v(x) = x\)
a, Tính \({u’}(x)\) và \({v’}(x)\)
b, Ở Ví dụ 4 của Bài 1 ta đã biết \({({x^2} + x)’} = 2x + 1\). Có nhận xét gì về mối liên hệ \({{\rm{[}}u(x) + v(x){\rm{]}}’}\) và \({u’}(x)\)+ \({v’}(x)\)
Áp dụng công thức \({({x^n})’} = n.{x^{n - 1}}\)
a, Ta có: \({({x^2})’} = 2.{x^{2 - 1}} = 2x\)
\({x’} = 1.{x^{1 - 1}} = 1\)
b, Từ kết quả câu a, ta có: \({{\rm{[}}u(x) + v(x){\rm{]}}’}\)= \({u’}(x)\)+ \({v’}(x)\)
Luyện tập 2
Tính \({f’}(1)\) và \({f’}(4)\)biết \(f(x) = {x^2} + \sqrt x - \frac{1}{x}\)
Tính \({f’}(x)\) dựa vào công thức: \({({x^n})’} = n.{x^{n - 1}}\), \({(\sqrt x )’} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) và \({(\frac{1}{x})’} = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}}\)
Thay x=1, x=4 để tính \({f’}(1)\), \({f’}(4)\)
Ta có: \({f’}(x) = {({x^2} + \sqrt x - \frac{1}{x})’} = 2x + \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}}}\)
\({f’}(1) = 2.1 + \frac{1}{{2.1}} + \frac{1}{{{1^2}}} = 2 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{7}{2}\)
\({f’}(4) = 2.4 + \frac{1}{{2.\sqrt 4 }} + \frac{1}{{{4^2}}} = 8 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} = \frac{{133}}{{16}}\)
Hoạt động 3
Cho hàm số \(u(x) = {x^3}\) và \(v(x) = {x^2}\)
a, Tính đạo hàm của hàm số y= u(x).v(x)
b, Hoàn thành bảng 7.2
c, So sánh kết quả câu a và b và rút ra nhận xét.
a, Tính u(x). v(x) rồi tính đạo hàm theo công thức \({({x^n})’} = n.{x^{n - 1}}\)
b, Tính \({u’}(x)\) và \({v’}(x)\) theo công thức \({({x^n})’} = n.{x^{n - 1}}\) và hoàn thành bảng
a, Ta có: \(u(x).v(x) = {x^3}.{x^2} = {x^5}\)
\( \Rightarrow {{\rm{[}}u(x).v(x){\rm{]}}’} = {({x^5})’} = 5{x^4}\)
b, Bảng 7,2
c, Nhận xét: \({{\rm{[}}u(x).v(x){\rm{]}}’} = \)\({u’}(x).v(x) + u(x).{v’}(x)\)
Luyện tập 3
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a, \(y = ( - 2{x^2} + 3x + 1).\sqrt x \)
b, \(y = \frac{{2{x^2} - 1}}{{1 - 3x}}\)
Áp dụng công thức đạo hàm: \({(u.v)’} = {u’}.v + u.{v’}\)
\({(\frac{u}{v})’} = \frac{{{u’}.v - u.{v’}}}{{{v^2}}}\)
a, Ta có: \(\begin{array}{l}{y’} = {( - 2{x^2} + 3x + 1)’}.\sqrt x + ( - 2{x^2} + 3x + 1).{(\sqrt x )’}\\ = ( - 4x + 3).\sqrt x + ( - 2{x^2} + 3x + 1).\frac{1}{{2\sqrt x }}\\ = - 4x\sqrt x + 3\sqrt x - x\sqrt x + \frac{3}{2}\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }}\\ = - 5x\sqrt x + \frac{9}{2}\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }}\end{array}\)
b, Ta có: \(\begin{array}{l}{y’} = \frac{{{{(2{x^2} - 1)}’}.(1 - 3x) - (2{x^2} - 1).{{(1 - 3x)}’}}}{{{{(1 - 3x)}^2}}}\\ = \frac{{4x.(1 - 3x) - (2{x^2} - 1).( - 3)}}{{{{(1 - 3x)}^2}}} = \frac{{4x - 12{x^2} + 6{x^2} - 3}}{{{{(1 - 3x)}^2}}}\\ = \frac{{4x - 6{x^2} - 3}}{{{{(1 - 3x)}^2}}}\end{array}\)
Vận dụng 1
Điện lượng Q ( đơn vị: C) truyền trong một dây dẫn tại thời điểm t ( giây) được tính bởi \(Q(t) = {t^3} - 3{t^2} + 5t + 1\). Biết rằng cường độ dòng điện tại thời điểm t là I(t) ( đơn vị :A) có giá trị bằng với \({Q’}(t)\)
a, Tính cường độ dòng điện tại thời điểm \(t = \frac{1}{2}\) giây và t= 2 giây. Tại thời điểm nào thì cường độ dòng điện lớn hơn.
b, Tìm thời điểm mà cường độ dòng điện đạt giá trị nhỏ nhất.
Advertisements (Quảng cáo)
a, Tính I(t) = \({Q’}(t)\). Thay giá trị \(t = \frac{1}{2}\) và t= 2
b, Áp dụng hằng đẳng thức tìm min.
a, Ta có: I(t) = \({Q’}(t) = {({t^3} - 3{t^2} + 5t + 1)’} = 3{t^2} - 6t + 5\)
Thay giá trị \(t = \frac{1}{2}\) và t= 2 ta được:
\(I(\frac{1}{2}) = 3.{(\frac{1}{2})^2} - 6.\frac{1}{2} + 5 = \frac{3}{4} - 3 + 5 = \frac{{11}}{4}\)
\(I(2) = {3.2^2} - 6.2 + 5 = 5\)
b, Ta có: \(I(t) = 3{t^2} - 6t + 5 = 3.({t^2} - 2t + 1) + 2 = 3.{(t - 1)^2} + 2\)
Vì \({(t - 1)^2} \ge 0 \Rightarrow 3.{(t - 1)^2} + 2 \ge 2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của cường độ dòng điện là 2(A) tại t= 2 giây.
Hoạt động 4
Cho hai hàm số \(f(u) = {u^4}\) và \(u(x) = 2{x^2} + 1\)
a, Tính giá trị của u(1) và f(u(1)
b, Trong biểu thức của f(u), nếu ta thay biến u bởi u(x) thì ta thu được một biểu thức theo biến x. Hãy viết ra biểu thức này.
Thay x=1 để tính u(1) và thay u(1) để tính f(u(1))
a, Thay x=1 ta được: \(u(1) = {2.1^2} + 1 = 3\)
Thay u(1)=3 vào f(u) ta được: f(u(1))=\({3^4} = 81\)
b, Ta có: \(f(u) = {u^4} = {(2{x^2} + 1)^4}\)
Luyện tập 4
Hàm số \(y = {e^{3x - {x^2}}}\) là hàm hợp của hai hàm số nào?
Hàm số là hàm hợp của \({e^u}\) và \(u = 3x - {x^2}\)
Hàm số là hàm hợp của \({e^u}\) và \(u = 3x - {x^2}\)
Hoạt động 5
Cho hàm số \(f(u) = {u^2}\) và \(u(x) = {x^2} + 1\). Hàm hợp của hàm số f và u là \(y = f(u(x)) = {({x^2} + 1)^2}\)
a, Tìm \({y’}\)bằng cách khai triển biểu thức \({({x^2} + 1)^2}\)và áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm tổng
b, Một học sinh cho rằng: Vì \({({u^2})’} = 2u\) nên \({y’} = {\rm{[}}{({x^2} + 1)^2}{\rm{]}} = 2({x^2} + 1)\). Kết quả này đúng hay sai.
c, Tính \({f’}(u).{u’}(x)\) và so sánh kết quả \({y’}\) ở câu a, sau đó rút ra nhận xét.
a, Sử dụng khai triển hằng đẳng thức và áp dụng quy tắc tính đạo hàm
b, Dụa vào kết quả câu a và kết luận
c, Tính \({f’}(u).{u’}(x)\)
a, Ta có: \({({x^2} + 1)^2} = {x^4} + 2{x^2} + 1\)
\( \Rightarrow {y’} = {({x^4} + 2{x^2} + 1)’} = 4{x^3} + 4x\)
b, Kết quả của câu b là sai
c, Ta có:
\(\begin{array}{l}f'(u) = 2u\\u'(x) = 2x\\ \Rightarrow f'(u).u'(x) = 2u.2x = 2.({x^2} + 1).2x = 4{x^3} + 4x\end{array}\)
Nhận xét: \(f'(x) = f'(u).{u’}(x)\)
Luyện tập 5
Tính đạo hàm các hàm số sau: a, \(y = \sqrt {7 - 3x} \)
b, \(y = {(2\sqrt x + \frac{1}{x})^3}\)
Sử dụng đạo hàm của hàm hợp \(f'(x) = f'(u).{u’}(x)\) và các quy tắc tính đạo hàm
a, Ta có: \({y’} = {(\sqrt {7 - 3x} )’} = \frac{1}{{2\sqrt {7 - 3x} }}.{(7 - 3x)’} = \frac{{ - 3}}{{2.\sqrt {7 - 3x} }}\)
b, Ta có: \(\begin{array}{l}{y’} = 3.{(2\sqrt x + \frac{1}{x})^2}.{(2\sqrt x + \frac{1}{x})’} = 3.(2\sqrt x + \frac{1}{x}).(2.\frac{1}{{2\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^2}}})\\ = 3.(2.\sqrt x + \frac{1}{x}).(\frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^2}}})\end{array}\)