Mục 3 trang 54, 55 Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$. Đặt ${S_n}$ là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân...

Hoạt động 3

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$. Đặt ${S_n}$ là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, nghĩa là:

${S_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}.$

Tính $q{S_n}$ và $q{S_n} - {S_n}$.

Áp dụng công thức ${u_{n + 1}} = {u_n}.q$.

$\begin{array}{l}q{S_n} = q\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right) = u{}_1.q + {u_2}.q + {u_3}.q + ... + {u_n}.q\\ = {u_2} + {u_3} + {u_4} + ... + {u_{n + 1}}\end{array}$

$\begin{array}{l}q{S_n} - {S_n} = \left( {{u_2} + {u_3} + {u_4} + ... + {u_{n + 1}}} \right) - \left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n}} \right)\\ \Leftrightarrow q{S_n} - {S_n} = {u_{n + 1}} - {u_1}\end{array}$

Luyện tập 3

Trong bài toán nêu ra ở đầu bài học, tính tổng số hạt thóc được đặt vào 10 ô đầu tiên của bàn cờ vua.

Từ đầu bài xác định ${u_1},q,n$. Áp dụng công thức tính tổng 10 số hạng của cấp số nhân:${S_n} = \frac{{{u_1}.\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$.

Từ đầu bài ta có: ${u_1} = 1,q = 2$.

Vậy tổng số hạt thóc được đặt vào 10 ô đầu tiên của bàn cờ vua là ${S_{10}} = \frac{{1.\left( {1 - {2^{10}}} \right)}}{{1 - 2}} = 1023$ (hạt).

Vận dụng

Mỗi năm, một nhân viên văn phòng mua một đôi giày mới. Giá của một đôi giày người đó mua ở năm đầu tiên là 500 000 đồng. Những năm tiếp theo, giá một đôi giày cùng loại tăng 20% so với giá của năm trước đó. Tính tổng số tiền người đó đã mua giày trong 10 năm.

Từ đầu bài, xác định ${u_1},q,n$. Áp dụng công thức tính tổng n số hạng của cấp số nhân:${S_n} = \frac{{{u_1}.\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$.

Gọi giá một đôi giày năm đầu tiên là ${u_1}$, giá một đôi giày năm thứ hai là ${u_2}$.

$\Rightarrow {u_1} = 500000,{u_2} = 500000 + 20\% .500000 = 600000$

$\Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{600000}}{{500000}} = 1,2$

Tương tự với ${u_3},{u_4},...$ Ta lập được cấp số nhân với ${u_1} = 500000,q = 1,2$.

Vậy tổng số tiền người đó đã mua giày trong 10 năm là ${S_{10}} = \frac{{500000.\left( {1 - 1,{2^{10}}} \right)}}{{1 - 1,2}} \approx 12979341$ (đồng).