Advertisements (Quảng cáo)
Bài 7. Cho dãy số (un) xác định bởi
\({u_1} = 10\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over 5} + 3\) với mọi \(n ≥ 1\)
a. Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi \({v_n} = {u_n} – {{15} \over 4}\) là một cấp số nhân.
b. Tìm \(\lim u_n\).
a. Ta có: \({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} – {{15} \over 4} = {{{u_n}} \over {5}} + 3 – {{15} \over 4} = {{{u_n}} \over 5} – {3 \over 4}\)
Thay \({u_n} = {v_n} + {{15} \over 4}\) vào ta được :
Advertisements (Quảng cáo)
\({v_{n + 1}} = {1 \over 5}\left( {{v_n} + {{15} \over 4}} \right) – {3 \over 4} = {1 \over 5}{v_n},\forall n\)
Vậy (vn) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = {1 \over 5}\)
b. Ta có:
\(\eqalign{
& {v_1} = {u_1} – {{15} \over 4} = 10 – {{15} \over 4} = {{25} \over 4} \cr
& {v_n} = {v_1}.{q^{n – 1}} = {{25} \over 4}.{\left( {{1 \over 5}} \right)^{n – 1}} \cr
& \Rightarrow \lim {v_n} = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = {{15} \over 4} \cr} \)