Câu 6 trang 123 Hình học 11: Ôn tập chương III - Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian...

Bài 6. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

(A) Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian có các vecto chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ . Điều kiện cần và đủ để $a$ và $b$ chéo nhau là $a$ và $b$ không có điểm chung và hai vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ không cùng phương.

(B) Gọi $a$ và $b$ là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Đường thẳng vuông góc chung của $a$ và $b$ nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.

(C) Không thể có một hình chóp tứ giác $S.ABCD$ này có hai mặt bên $(SAB)$ và $(SCD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy.

(D) Gọi $\left\{ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right\}$ là cặp vecto chỉ phương của hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng $(α)$ và là vecto chỉ phương của đường thẳng $Δ$. Điều kiện cần và đủ để $Δ ⊥ (α)$ là: 

$\left\{ \matrix{ \overrightarrow {n.} \overrightarrow u = 0 \hfill \cr \overrightarrow {n.} \overrightarrow v = 0 \hfill \cr} \right.$

(A) Từ giả thiết $a$ và $b$ không có điểm chung và các vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ của chúng không cùng phương, ta suy ra hai đường thẳng $a, b$ không đồng phẳng vì chúng không trùng nhau, không cắt nhau, không song song với nhau. Vậy $a$ và $b$ chéo nhau. Ngược lại nếu $a$ và $b$ chéo nhau thì rõ ràng $a$ và $b$ không có điểm chung và $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ không cùng phương.

Mệnh đề (A) đúng.

(B) $a$ và $b$ có đường vuông góc chung là $c$, $a ⊥ b$.

Ta có:

$\left. \matrix{ a \bot b \hfill \cr a \bot c \hfill \cr} \right\} \Rightarrow a \bot (b,c)$

Tương tự ta có: $b ⊥ (a, c)$

Mệnh đề (B) đúng.

(C) Xét trường hợp $AB$ và $CD$ cắt nhau tại một điểm $H$.

Ta lấy $S$ trên đường thẳng vuông góc với $mp(ABCD)$. Kẻ từ $H$ thì rõ ràng $(SAB) ⊥(ABCD)$ và $(SCD) ⊥(ABCD)$

Vậy (C) sai.

(D) Đúng.

Chọn C.