Bài tập 5 trang 42 Toán 12 tập 2 - Cánh diều: Cho hàm số $f(x) = {x^2} + {e^{ - x}}$. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên $\mathbb{R}$...

a) Cho hàm số $f(x) = {x^2} + {e^{ - x}}$. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên $\mathbb{R}$ sao cho F(0) = 2023

b) Cho hàm số $g(x) = \frac{1}{x}$. Tìm nguyên hàm G(x) của hàm số g(x) trên khoảng $(0; + \infty )$ sao cho G(1) = 2023

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K

a) $F(x) = \int {f(x)} = \int {\left( {{x^2} + {e^{ - x}}} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - {e^{ - x}} + C$

F(0) = 2023 => C = 2024

Vậy $F(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - {e^{ - x}} + 2024$

b) $\int {g(x)} = \int {\frac{1}{x}dx} = \ln x + C$

G(1) = 2023 => C = 2022

Vậy $G(x) = \ln x + 2023$