Bài tập 9 trang 27 Toán 12 tập 2 - Cánh diều: Ở nhiệt độ $37^\circ C$, một phản ứng hóa học từ chất đầu A...

Ở nhiệt độ $37^\circ C$, một phản ứng hóa học từ chất đầu A, chuyển hóa thành sản phẩm B theo phương trình: $A \to B$. Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol ${L^{ - 1}}$) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với $x \ge 0$, thỏa mãn hệ thức $y'(x) = - {7.10^{ - 4}}y(x)$ với $x \ge 0$. Biết rằng tại x = 0, nồng độ (đầu) của A là 0,05 mol ${L^{ - 1}}$.

a) Xét hàm số $f(x) = \ln y(x)$ với $x \ge 0$. Hãy tính f’(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x)

b) Giả sử tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol ${L^{ - 1}}$) từ thời điểm a(giây) đến thời điểm b(giây) với 0 < a < b theo công thức $\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {y(x)dx}$. Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.

a) Biến đổi hàm số cho thích hợp

b) Xác định hàm số y(x) rồi tính tích phân

a) $f(x) = \ln y(x) \to f'(x) = \frac{{y'(x)}}{{y(x)}} = - {7.10^{ - 4}} \to f(x) = - {7.10^{ - 4}}x$

b) $f(x) = - {7.10^{ - 4}}x \to \ln y(x) = - {7.10^{ - 4}}x \Leftrightarrow y(x) = {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x}}$

Nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây:

$\frac{1}{{30 - 15}}\int\limits_{15}^{30} {y(x)dx} = \frac{1}{{15}}\int\limits_{15}^{30} {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x}}dx} = \frac{1}{{15}}.\left. {\frac{{{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x}}}}{{ - {{7.10}^{ - 4}}}}} \right|_{15}^{30} = 0,98$ (${L^{ - 1}}$)