Bài 14 trang 53 SGK Hình học 12: Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón...

Bài 14. Một hình tứ diện đều cạnh $a$ có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là:

(A) ${1 \over 2}\pi {a^2}\sqrt 3$ ;                          (B) ${1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 2$ ;

(C) ${1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 3$ ;                          (D) $\pi {a^2}\sqrt 3$ .

Giả sử có tứ diện đều $ABCD$ , hình nón có đỉnh trùng với $A$  và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ bán kính đường tròn đáy bằng ${2\over3}$ độ dài trung tuyến $BCD$

$r = {2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 3}$

Đường sinh hình nón bằng cạnh $AB=a$. 

Diện tích xung quanh của hình nón là:

${S_{xq}} = \pi rl = {1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 3$

Chọn (C) ${1 \over 3}\pi {a^2}\sqrt 3$.