Chứng tỏ rằng \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ.
Ta chứng minh \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ bằng cách chứng minh điều ngược lại là sai: giả sử \(\sqrt 2 \) không là số vô tỉ.
Giả sử \(\sqrt 2 \) là số hữu tỉ.
Advertisements (Quảng cáo)
Như vậy, \(\sqrt 2 \) có thể viết được dưới dạng \(\dfrac{m}{n}\) với \(m,n \in \mathbb{N}\) và \((m,n) = 1\).
Ta có: \(\sqrt 2 = \dfrac{m}{n}\) nên \({\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = {\left( {\dfrac{m}{n}} \right)^2}\) hay \(2 = \dfrac{{{m^2}}}{{{n^2}}}\). Suy ra: \({m^2} = 2{n^2}\).
Mà \((m,n) = 1\) nên \({m^2}\) chia hết cho 2 hay m chia hết cho 2. Do đó \(m = 2k\) với \(k \in \mathbb{N}\) và \((k,n) = 1\).
Thay \(m = 2k\) vào \({m^2} = 2{n^2}\) ta được: \(4{k^2} = 2{n^2}\) hay \({n^2} = 2{k^2}\).
Do \((k,n) = 1\) nên \({n^2}\) chia hết cho 2 hay n chia hết cho 2.
Suy ra m và n đều chia hết cho 2 mâu thuẫn với \((m,n) = 1\).
Vậy \(\sqrt 2 \) không là số hữu tỉ mà là số vô tỉ.