Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, AN và Q là giao điểm của AN và DM. Chứng minh:
a) MP∥AD,MP=14AD
b) AQ=25AN
c) Gọi R là trung điểm của CD. Chứng minh ba điểm M, P, R thẳng hàng và PR=34AD.
a) Chứng minh MP là đường trung bình của tam giác ABN.
b) Từ MP∥AD, sử dụng định lý Thales để chứng minh đẳng thức.
c) Chứng minh MR∥AD và sử dụng các tỉ lệ đã có để chứng minh yêu cầu đề bài.
Vì M và P lần lượt là trung điểm của AB và AN nên MP là đường trung bình của tam giác ABN.
⇒MP∥BN hay MP∥BC.
Advertisements (Quảng cáo)
Mà ABCD là hình bình hành nên AD∥BC
⇒MP∥AD
Ta có: MP=12NB
Mà N là trung điểm BC nên NB=12BC
⇒MP=14BC⇒MP=14AD
b) Vì MP∥AD nên MPAD=QPAQ (hệ quả của định lý Thales)
⇒QPAQ=14⇒AQ=4QP(1)
Ta có: QP=AP−AQ=12AN−AQ (P là trung điểm AN)
Thay vào (1) ta được AQ=4.(12AN−AQ)
⇒AQ=2AN−4AQ⇒5AQ=2AN⇒AQ=25AN (đpcm)
c) Vì M và R lần lượt là trung điểm của AB và CD nên MR∥AD,MR=AD
Mà ta đã chứng minh MP∥AD nên ba điểm M, P, R thẳng hàng.
Theo câu a) ta có MP=14AD⇒MP=14MR
⇒PR=34MR⇒PR=34AD.