Bài 8 trang 95 Toán 8 – Cánh diều: Cho Hình 105. Chứng minh: $\Delta HAB \backsim \Delta HBC$ $HB = HD = 6cm$...

Cho Hình 105. Chứng minh:

a) $\Delta HAB \backsim \Delta HBC$

b) $HB = HD = 6cm$

a) Chứng minh $\widehat {HBC} = \widehat {BAH}$ rồi chứng minh hai tam giác đồng dạng.

b) Tính độ dài HB và HD rồi so sánh với nhau.

a) Xét tam giác ABC vuông tại B có: $\widehat {BAC} + \widehat {BCA} = 90^\circ$

Xét tam giác BHC vuông tại H có:

$\begin{array}{l}\widehat {HBC} + \widehat {HCB} = 90^\circ \\ \Rightarrow \widehat {HBC} + \widehat {BCA} = 90^\circ \end{array}$

$\Rightarrow \widehat {HBC} = \widehat {BAC}$ hay $\widehat {HBC} = \widehat {BAH}$

Xét tam giác HAB và tam giác HBC có:

$\widehat {BAH} = \widehat {CBH}$ và $\widehat {BHA} = \widehat {CHB} = 90^\circ$

$\Rightarrow \Delta HAB \backsim \Delta HBC$

b) Vì $\Delta HAB \backsim \Delta HBC$ nên

$\begin{array}{l}\frac{{HA}}{{HB}} = \frac{{HB}}{{HC}}\\ \Rightarrow H{B^2} = HA.HC\\ \Rightarrow H{B^2} = 4.9 = 36\\ \Rightarrow HB = 6cm\end{array}$

Ta chứng minh được $\Delta HAD \backsim \Delta HDC$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{HA}}{{HD}} = \frac{{HD}}{{HC}}\\ \Rightarrow H{D^2} = HA.HC\\ \Rightarrow H{D^2} = 4.9 = 36\\ \Rightarrow HD = 6cm\end{array}$

Vậy $HB = HD = 6cm$.