Bài 11 trang 127 vở thực hành Toán 8 tập 2: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh Hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC cắt nhau...

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng

a) ΔBIC $\backsim$ ΔEIF

b) $F{{B}^{2}}=FI.FC$

c) Cho biết AB = 6cm, BC = 3 cm. Tính EF

a) Sử dụng định lý Thales đảo chứng minh EF // BC

b) Sử dụng các tỉ số đồng dạng của hai tam giác để chứng minh $F{{B}^{2}}=FI.FC$

c) Dựa vào định lý Thales cho EF // BC, ta có các tỉ số bằng nhau suy ra độ dài EF.

a) Do BE là đường phân giác của góc B nên $\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{B}_{2}}}$, ta có: $\frac{EA}{EC}=\frac{BA}{BC}$ (1).

Tương tự với đường phân giác CF, ta có: $\frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}$ (2).

Bởi vậy, từ (1) và (2) ta suy ra $\frac{EA}{EC}=\frac{FA}{FB}$, nghĩa là EF định ra trên hai cạnh AB và AC những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Do đó theo định lý Thales đảo ta có EF // BC. Từ đó suy ra $\Delta BIC\backsim \Delta EIF$ (đpcm).

b) Hai tam giác BFI và CFB có $\widehat{F}$ chung, $\widehat{{{B}_{1}}}=\frac{\widehat{ABC}}{2}=\frac{\widehat{ACB}}{2}=\widehat{{{C}_{2}}}$.

Do đó $\Delta BFI\backsim \Delta CFB\Rightarrow \frac{FB}{FC}=\frac{FI}{FB}\Rightarrow F{{B}^{2}}=FI.FC$ (đpcm).

c) Ta có EF // BC (chứng minh trên). Do đó: $\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{AF}\Rightarrow \frac{BC}{EF}=\frac{\left( AF+FB \right)}{AF}=1+\frac{BC}{AB}=1+\frac{3}{6}=\frac{3}{2}$.

Từ đó suy ra EF = 3: $\frac{3}{2}$ = 2 (cm).