Bài 10 trang 37 SBT toán 9 - Cánh diều tập 1: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn \(\frac{{AB. BC + AD. DC}}{2}...

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn $\frac{{AB.BC + AD.DC}}{2}.$

Kẻ đường cao CH và AK.

Tính diện tích tam giác ABC và ACD.

Do đó${S_{ABCD}} = {S_{ABC}} + {S_{ACD}} = \frac{{AB.CH + DC.AK}}{2}$

Kết hợp với điều kiện $CH \le BC,AK \le AD$, ta được điều phải chứng minh.

Kẻ $CH \bot AB,AK \bot DC(H \in AB,K \in DC)$.

Ta có ${S_{ABC}} = \frac{{AB.CH}}{2},{S_{ACD}} = \frac{{DC.AK}}{2}$

Do đó

${S_{ABCD}} = {S_{ABC}} + {S_{ACD}} \\= \frac{{AB.CH}}{2} + \frac{{DC.AK}}{2} = \frac{{AB.CH + DC.AK}}{2}$

Mà $CH \le BC,AK \le AD$ suy ra ${S_{ABCD}} \le \frac{{AB.BC + AD.DC}}{2}$

Vậy diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn $\frac{{AB.BC + AD.DC}}{2}.$