Bài 20 trang 58 SBT toán 9 - Cánh diều tập 1: So sánh: $\sqrt {2024} - \sqrt {2023}$ và $\sqrt {2023} - \sqrt {2022}$ $\sqrt {a + b}$...

So sánh:

a) $\sqrt {2024} - \sqrt {2023}$ và $\sqrt {2023} - \sqrt {2022}$

b) $\sqrt {a + b}$ và $\sqrt a + \sqrt b$ với $a > 0,b > 0$.

a) Bước 1: Áp dụng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$ để suy ra

$\sqrt {2024} - \sqrt {2023} = \frac{1}{{\sqrt {2024} + \sqrt {2023} }}$ và $\sqrt {2023} - \sqrt {2022} = \frac{1}{{\sqrt {2023} + \sqrt {2022} }}$.

Bước 2: So sánh 2 vế phải của 2 đẳng thức trên.

b) So sánh ${\left( {\sqrt {a + b} } \right)^2}$ và ${\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2}$.

a) Ta có:

+) $\left( {\sqrt {2024} - \sqrt {2023} } \right)\left( {\sqrt {2024} + \sqrt {2023} } \right) = 2024 - 2023 = 1$

nên $\sqrt {2024} - \sqrt {2023} = \frac{1}{{\sqrt {2024} + \sqrt {2023} }}$.

+) $\left( {\sqrt {2023} - \sqrt {2022} } \right)\left( {\sqrt {2023} - \sqrt {2022} } \right) = 2023 - 2022 = 1$ nên $\sqrt {2023} - \sqrt {2022} = \frac{1}{{\sqrt {2023} + \sqrt {2022} }}$.

Ta lại có: $\sqrt {2024} > \sqrt {2022}$ suy ra $\sqrt {2024} + \sqrt {2023} > \sqrt {2022} + \sqrt {2023}$,

do đó $\frac{1}{{\sqrt {2024} + \sqrt {2023} }} < \frac{1}{{\sqrt {2023} + \sqrt {2022} }}$

vậy $\sqrt {2024} - \sqrt {2023} < \sqrt {2023} - \sqrt {2022}$.

b) Với $a > 0,b > 0,$ ta có ${\left( {\sqrt {a + b} } \right)^2} = a + b$ và ${\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2} = a + b + 2\sqrt {ab}$.

Do $a + b < a + b + 2\sqrt {ab}$ nên ${\left( {\sqrt {a + b} } \right)^2} < {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2}$.

Mặt khác ta lại có $\sqrt {a + b} > 0$, $\sqrt a + \sqrt b > 0$ suy ra $\sqrt {a + b} < \sqrt a + \sqrt b$.