Câu hỏi/bài tập:
So sánh:
a) \(\sqrt {2024} - \sqrt {2023} \) và \(\sqrt {2023} - \sqrt {2022} \)
b) \(\sqrt {a + b} \) và \(\sqrt a + \sqrt b \) với \(a > 0,b > 0\).
a) Bước 1: Áp dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\) để suy ra
\(\sqrt {2024} - \sqrt {2023} = \frac{1}{{\sqrt {2024} + \sqrt {2023} }}\) và \(\sqrt {2023} - \sqrt {2022} = \frac{1}{{\sqrt {2023} + \sqrt {2022} }}\).
Bước 2: So sánh 2 vế phải của 2 đẳng thức trên.
b) So sánh \({\left( {\sqrt {a + b} } \right)^2}\) và \({\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2}\).
Advertisements (Quảng cáo)
a) Ta có:
+) \(\left( {\sqrt {2024} - \sqrt {2023} } \right)\left( {\sqrt {2024} + \sqrt {2023} } \right) = 2024 - 2023 = 1\)
nên \(\sqrt {2024} - \sqrt {2023} = \frac{1}{{\sqrt {2024} + \sqrt {2023} }}\).
+) \(\left( {\sqrt {2023} - \sqrt {2022} } \right)\left( {\sqrt {2023} - \sqrt {2022} } \right) = 2023 - 2022 = 1\) nên \(\sqrt {2023} - \sqrt {2022} = \frac{1}{{\sqrt {2023} + \sqrt {2022} }}\).
Ta lại có: \(\sqrt {2024} > \sqrt {2022} \) suy ra \(\sqrt {2024} + \sqrt {2023} > \sqrt {2022} + \sqrt {2023} \),
do đó \(\frac{1}{{\sqrt {2024} + \sqrt {2023} }} < \frac{1}{{\sqrt {2023} + \sqrt {2022} }}\)
vậy \(\sqrt {2024} - \sqrt {2023} < \sqrt {2023} - \sqrt {2022} \).
b) Với \(a > 0,b > 0,\) ta có \({\left( {\sqrt {a + b} } \right)^2} = a + b\) và \({\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2} = a + b + 2\sqrt {ab} \).
Do \(a + b < a + b + 2\sqrt {ab} \) nên \({\left( {\sqrt {a + b} } \right)^2} < {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2}\).
Mặt khác ta lại có \(\sqrt {a + b} > 0\), \(\sqrt a + \sqrt b > 0\) suy ra \(\sqrt {a + b} < \sqrt a + \sqrt b \).