Bài 37 trang 67 SBT toán 9 - Cánh diều tập 1: a)Cho biểu thức: \(C = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + . ....

a)Cho biểu thức: $C = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {24} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }}.$ Chứng minh $C > \frac{{24}}{5}.$

b) Cho biểu thức $D = \left( {\frac{{y - 2}}{{y + 2\sqrt y }} + \frac{1}{{\sqrt y + 2}}} \right).\frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y - 1}}$ với $y > 0,y \ne 1.$ Chứng minh $D = \frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y }}.$

a) Ta thấy biểu thức C có 24 hạng tử, ta so sánh mỗi hạng tử với $\frac{1}{{\sqrt {25} }}$, tức là:

$C = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {25} }} > \frac{1}{{\sqrt {25} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {25} }}$

Từ đó ta được đpcm.

b) Biến đổi $\frac{{y - 2}}{{y + 2\sqrt y }} + \frac{1}{{\sqrt y + 2}} = \frac{{y - 2}}{{\sqrt y \left( {\sqrt y + 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt y + 2}} = \frac{{y - 2 + \sqrt y }}{{\sqrt y \left( {\sqrt y + 2} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt y - 1} \right)\left( {\sqrt y + 2} \right)}}{{\sqrt y \left( {\sqrt y + 2} \right)}}$

a) Ta có: $2 < 3 < 4 < ... < 25$ nên $\sqrt 2 < \sqrt 3 < \sqrt 4 < ... \frac{1}{{\sqrt 3 }} > \frac{1}{{\sqrt 4 }} > ... > \frac{1}{{\sqrt {25} }}$.

Suy ra $\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {25} }} > \frac{1}{{\sqrt {25} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {25} }}$ (24 hạng tử $\frac{1}{{\sqrt {25} }}$).

Hay $C > 24.\frac{1}{{\sqrt {25} }}$. Vậy $C > \frac{{24}}{5}$.

b) $D = \left( {\frac{{y - 2}}{{y + 2\sqrt y }} + \frac{1}{{\sqrt y + 2}}} \right).\frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y - 1}}$

$\begin{array}{l} = \left( {\frac{{y - 2}}{{\sqrt y \left( {\sqrt y + 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt y + 2}}} \right).\frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y - 1}}\\ = \frac{{y - 2 + \sqrt y }}{{\sqrt y \left( {\sqrt y + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y - 1}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt y - 1} \right)\left( {\sqrt y + 2} \right)}}{{\sqrt y \left( {\sqrt y + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y - 1}}\\ = \frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y }}\end{array}$

Vậy $D = \frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y }}.$