Câu hỏi/bài tập:
a)Cho biểu thức: \(C = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {24} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }}.\) Chứng minh \(C > \frac{{24}}{5}.\)
b) Cho biểu thức \(D = \left( {\frac{{y - 2}}{{y + 2\sqrt y }} + \frac{1}{{\sqrt y + 2}}} \right).\frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y - 1}}\) với \(y > 0,y \ne 1.\) Chứng minh \(D = \frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y }}.\)
a) Ta thấy biểu thức C có 24 hạng tử, ta so sánh mỗi hạng tử với \(\frac{1}{{\sqrt {25} }}\), tức là:
\(C = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {25} }} > \frac{1}{{\sqrt {25} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {25} }}\)
Từ đó ta được đpcm.
Advertisements (Quảng cáo)
b) Biến đổi \(\frac{{y - 2}}{{y + 2\sqrt y }} + \frac{1}{{\sqrt y + 2}} = \frac{{y - 2}}{{\sqrt y \left( {\sqrt y + 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt y + 2}} = \frac{{y - 2 + \sqrt y }}{{\sqrt y \left( {\sqrt y + 2} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt y - 1} \right)\left( {\sqrt y + 2} \right)}}{{\sqrt y \left( {\sqrt y + 2} \right)}}\)
a) Ta có: \(2 < 3 < 4 < ... < 25\) nên \(\sqrt 2 < \sqrt 3 < \sqrt 4 < ... \frac{1}{{\sqrt 3 }} > \frac{1}{{\sqrt 4 }} > ... > \frac{1}{{\sqrt {25} }}\).
Suy ra \(\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {25} }} > \frac{1}{{\sqrt {25} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {25} }}\) (24 hạng tử \(\frac{1}{{\sqrt {25} }}\)).
Hay \(C > 24.\frac{1}{{\sqrt {25} }}\). Vậy \(C > \frac{{24}}{5}\).
b) \(D = \left( {\frac{{y - 2}}{{y + 2\sqrt y }} + \frac{1}{{\sqrt y + 2}}} \right).\frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y - 1}}\)
\(\begin{array}{l} = \left( {\frac{{y - 2}}{{\sqrt y \left( {\sqrt y + 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt y + 2}}} \right).\frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y - 1}}\\ = \frac{{y - 2 + \sqrt y }}{{\sqrt y \left( {\sqrt y + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y - 1}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt y - 1} \right)\left( {\sqrt y + 2} \right)}}{{\sqrt y \left( {\sqrt y + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y - 1}}\\ = \frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y }}\end{array}\)
Vậy \(D = \frac{{\sqrt y + 1}}{{\sqrt y }}.\)