Bài 3.32 trang 40 SBT Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1: Khai triển 2 - √3 ^2 và 2√3 - 3 ^2 thành những biểu thức...

a) Khai triển ${\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}$ và ${\left( {2\sqrt 3 - 3} \right)^2}$ thành những biểu thức không còn bình phương.

b) Sử dụng kết quả câu a, rút gọn các biểu thức sau:

$A = \sqrt {4 - 2\sqrt 3 - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } }$;

$B = \sqrt {2 + \sqrt 3 + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } } }$.

+ Với A, B là các biểu thức không âm, ta có $\sqrt A .\sqrt B = \sqrt {AB}$.

+ $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ với mọi biểu thức A.

a) ${\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} = {2^2} - 2.2\sqrt 3 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 7 - 4\sqrt 3$;

${\left( {2\sqrt 3 - 3} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} - 2.2\sqrt 3 .3 + {3^2} = 21 - 12\sqrt 3 .$

b) Theo a ta có:

$\sqrt {21 - 12\sqrt 3 } = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 - 3} \right)}^2}} \\= \left| {2\sqrt 3 - 3} \right| = 2\sqrt 3 - 3$

Do đó, $A = \sqrt {4 - 2\sqrt 3 - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } }$

$= \sqrt {4 - 2\sqrt 3 - 2\sqrt 3 + 3} = \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } \\= \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| = 2 - \sqrt 3$

$B = \sqrt {2 + \sqrt 3 + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 - \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } } } \\ = \sqrt {2 + \sqrt 3 + A} = \sqrt {2 + \sqrt 3 + 2 - \sqrt 3 } \\= \sqrt 4 = 2$