Bài 2 trang 34 Toán 9 Cánh diều tập 1: Chứng minh: $\frac{1}{{1\,.\,2}} + \frac{1}{{2\,.\,3}} + \frac{1}{{3\,.\,4}} < {a^2} + \frac{4}{5}$ với $a \ne 0$...

Chứng minh:

a. $\frac{1}{{1\,.\,2}} + \frac{1}{{2\,.\,3}} + \frac{1}{{3\,.\,4}} < {a^2} + \frac{4}{5}$ với $a \ne 0$;

b. $2m + 4 > 2n + 3$với $m > n$.

Sử dụng tính chất bắc cầu để chứng minh

a. Ta có: $\frac{1}{{1\,.\,2}} + \frac{1}{{2\,.\,3}} + \frac{1}{{3\,.\,4}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{4}{5}$

Mà ${a^2} > 0$ nên $\frac{4}{5} < {a^2} + \frac{4}{5}$.

Vậy $\frac{1}{{1\,.\,2}} + \frac{1}{{2\,.\,3}} + \frac{1}{{3\,.\,4}} < {a^2} + \frac{4}{5}$ với $a \ne 0$.

b. Ta có: $m > n$ nên $2m > 2n$. Vậy $2m + 3 > 2n + 3$.

Mà $2m + 4 > 2m + 3$ nên $2m + 4 > 2n + 3$.

Vậy $2m + 4 > 2n + 3$ với $m > n$.