Bài 3 trang 34 Toán 9 Cánh diều tập 1: Cho $a > b > 0$. Chứng minh: $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$. b. Áp dụng kết quả trên...

a. Cho $a > b > 0$. Chứng minh: $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.

b. Áp dụng kết quả trên, hãy so sánh: $\frac{{2022}}{{2023}}$ và $\frac{{2023}}{{2024}}$.

a. Cho $a > b > 0$. Chứng minh: $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.

b. Áp dụng kết quả trên, hãy so sánh: $\frac{{2022}}{{2023}}$ và $\frac{{2023}}{{2024}}$.

Xét hiệu để chứng minh. Sau đó dùng kết quả vừa chứng minh để so sánh.

a. Do $a > b$ nên $b - a < 0$.

Do $a > b > 0$ nên $ab > 0$.

Xét hiệu $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{{b - a}}{{ab}}$.

Do $\left\{ \begin{array}{l}b - a < 0\\ab > 0\end{array} \right.$ nên $\frac{{b - a}}{{ab}} < 0$.

Vậy $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.

b. Ta có: $\frac{{2022}}{{2023}} = 1 - \frac{1}{{2023}};\,\frac{{2023}}{{2024}} = 1 - \frac{1}{{2024}}$

Theo kết quả vừa chứng minh ta có:

$2024 > 2023$ nên $\frac{1}{{2023}} > \frac{1}{{2024}}$ suy ra $- \frac{1}{{2023}} < - \frac{1}{{2024}}$ nên $1 - \frac{1}{{2023}} < 1 - \frac{1}{{2024}}$.

Vậy $\frac{{2022}}{{2023}} < \frac{{2023}}{{2024}}$.