Bài 4 trang 124 Toán 9 Cánh diều tập 1: Chứng minh trong một đường tròn: a) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của...

Chứng minh trong một đường tròn:

a) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy;

b) Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy;

c) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm;

d) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Dựa vào kiến thức đã học để chứng minh.

a)

Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $AB$ xuống $CD$.

Do $AB \bot CD$ nên $OH \bot CD$.

Xét tam giác $OCD$ có: $OC = OD \Rightarrow \Delta OCD$ vuông tại $O$.

Lại có $OH \bot CD$ nên $OH$ đồng thời là đường trung tuyến của tam giác $OCD$.

Vậy $H$ là trung điểm của $CD$.

b)

Gọi $H$ là trung điểm của $CD$.

Xét tam giác $OCD$ có: $OC = OD \Rightarrow \Delta OCD$ vuông tại $O$.

Lại có $OH$ là đường trung tuyến của tam giác $OCD$ nên $OH$đồng thời là đường cao của tam giác $OCD$.

Vậy $OH \bot CD$.

c)

Gọi $OH,OK$lần lượt là khoảng cách từ $O$ tới $AB,CD$.

Do $AB = CD \Rightarrow AH = CK$.

Xét tam giác $OAH$ và tam giác $OCK$ có:

$\widehat {AHO} = \widehat {CKO} = 90^\circ$

$OA = OC = R$

$AH = CK$

$\Rightarrow \Delta AHO = \Delta CKO$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow OH = OK$ (cạnh tương ứng).

d)

Gọi $OH,OK$ lần lượt là khoảng cách từ $O$ tới $AB,CD$.

Xét tam giác $OAH$ và tam giác $OCK$ có:

$\widehat {AHO} = \widehat {CKO} = 90^\circ$

$OA = OC = R$

$OH = OK$

$\Rightarrow \Delta AHO = \Delta CKO$ (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AH = CK$ (cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự: $BH = DK$ nên $AB = CD$.