Cho hai đường tròn \(\left( {I;r} \right)\) và \(\left( {K;R} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau tại \(P\) với \(R \ne r\), đường thẳng \(a\) lần lượt tiếp xúc với \(\left( {I;r} \right)\) và \(\left( {K;R} \right)\) tại \(A\) và \(B,a\) cắt \(KI\) tại \(O\). Đường thẳng qua \(P\) vuông góc với \(IK\) cắt đường thẳng \(a\) tại \(M\). Chứng minh:
a) \(\frac{{OI}}{{OK}} = \frac{r}{R}\);
b) \(AB = 2MP\);
c) \(\widehat {IMK} = 90^\circ \).
Dựa vào kiến thức đã học để chứng minh.
a) Do \(AI\) là tiếp tuyến của \(\left( I \right)\) nên \(AI \bot AB\)
Do \(BK\) là tiếp tuyến của \(\left( K \right)\) nên \(KB \bot AB\)
Từ đó suy ra \(AI//BK\)
Xét tam giác \(OBK\) có: \(AI//BK \Rightarrow \frac{{OI}}{{OK}} = \frac{{AI}}{{BK}} = \frac{r}{R}\) (định lí Thalet).
Advertisements (Quảng cáo)
b) Xét \(\left( I \right)\) có \(MP,MA\) là hai tiếp tuyến cắt nhau
\( \Rightarrow MP = MA\)(1).
Xét \(\left( K \right)\) có \(MP,MB\) là hai tiếp tuyến cắt nhau
\( \Rightarrow MP = MB\)(2).
Từ (1) và (2) suy ra \(MP + MP = MA + MB \Rightarrow 2MP = AB\)
c) Do \(AI//BK \Rightarrow \widehat {OIA} = \widehat {IKB}\) (2 góc đồng vị).
Mà \(\widehat {AIK} + \widehat {OAI} = 180^\circ \) (2 góc kề bù) nên \(\widehat {AIK} + \widehat {IKB} = 180^\circ \) (3).
Do \(MP,MA\) là hai tiếp tuyến cắt nhau
\( \Rightarrow IM\) là phân giác \(\widehat {AIP} \Rightarrow \widehat {MIP} = \frac{1}{2}\widehat {AIP}\) (4).
Do \(MP,MB\) là hai tiếp tuyến cắt nhau
\( \Rightarrow KM\) là phân giác \(\widehat {IKP} \Rightarrow \widehat {MKP} = \frac{1}{2}\widehat {IKP}\) (5).
Từ (3), (4) và (5) suy ra \(\frac{1}{2}\widehat {AIP} + \frac{1}{2}\widehat {IKP} = \frac{1}{2}.180^\circ \Rightarrow \widehat {MIP} + \widehat {MKP} = 90^\circ \)
Xét tam giác \(IMK\) có: \(\widehat {MIP} + \widehat {MKP} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {IMK} = 90^\circ \)