Câu hỏi/bài tập:
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Góc vuông xAy thay đổi sao cho tia Ax cắt đoạn thẳng BC tại M và tia Ay cắt đoạn thẳng CD kéo dài tại N.
a) Chứng minh hai tam giác ABM và ADN bằng nhau.
b) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh ABMO và ANDO là các tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh ba điểm B, D, O thẳng hàng.
- Đọc kỹ dữ liệu để vẽ hình.
- Chứng minh ΔABM = ΔADN (g.c.g)
- Dựa vào trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180o để suy ra tứ giác ABMO và ANDO nội tiếp.
- Chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMCN. Suy ra
OA = OC. Sau đó chứng minh B, D, O cùng thuộc trung trực của đoạn thẳng AC. Vậy ba điểm B, D, O thẳng hàng.
a) Xét ΔABM và ΔADN ta có:
AB = AD
^ABM=^ADN(=90o)
Advertisements (Quảng cáo)
^BAM=^NAD(cùng phụ với ^DAM)
Do đó ΔABM = ΔADN (g.c.g)
b) Ta có AM = AN (do ΔABM = ΔADN)
Suy ra Δ AMN cân tại A
Mà AO cũng là đường trung tuyến (O là trung điểm của NM)
Nên AO cũng là đường cao suy ra AO ⊥ NM tại O.
Xét tứ giác ABMO có ^ABM+^AOM=90o+90o=180o nên tứ giác ABMO nội tiếp.
Xét tứ giác ADNO có ^ADN=90o(AD⊥CN),^AON=90o(AO⊥MN)
Suy ra D, O thuộc đường tròn đường kính AN.
Vậy tứ giác ADNO nội tiếp.
c) Tứ giác AMCN có: ^MAN+^MCN=90o+90o=180o nên nội tiếp.
Mà ^MAN=90o
Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMCN.
Suy ra OA = OC
Mà DA = DC, BA = BC (tứ giác ABCD là hình vuông).
Do đó B, D, O cùng thuộc trung trực của đoạn thẳng AC.
Vậy ba điểm B, D, O thẳng hàng.