Bài 1.21 trang 24 Toán 9 Cùng khám phá tập 1: Giải các phương trình sau: a) $\frac{{2x - 1}}{{x - 5}} + 1 = \frac{1}{{x - 5}}$...

Giải các phương trình sau:

a) $\frac{{2x - 1}}{{x - 5}} + 1 = \frac{1}{{x - 5}}$.

b) $2x - \frac{{2{x^2}}}{{x + 9}} = \frac{{4x}}{{x + 9}} + \frac{5}{9}$.

c) $\frac{{x + 3}}{{x + 1}} + \frac{{x - 4}}{{x - 1}} = 2$.

d) $\frac{{3x - 2}}{{x + 5}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}}$.

+ Tìm điều kiện xác định của phương trình;

+ Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi bỏ mẫu;

+ Giải phương trình vừa nhận được;

+ Kiểm tra điều kiện xác định và kết luận nghiệm của phương trình ban đầu.

a) $\frac{{2x - 1}}{{x - 5}} + 1 = \frac{1}{{x - 5}}$. (1)

Điều kiện xác định của phương trình $x \ne 5$.

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình ta được:

$\frac{{2x - 1}}{{x - 5}} + \frac{{x - 5}}{{x - 5}} = \frac{1}{{x - 5}}$.

Sau khi bỏ mẫu, ta được phương trình:

$2x - 1 + x - 5 = 1$. (1a)

Giải phương trình (1a):

$\begin{array}{l}3x - 6 = 1\\3x = 7\\x = \frac{7}{3}.\end{array}$

Ta thấy $x = \frac{7}{3}$ thỏa mãn điều kiện xác định nên nó là nghiệm của phương trình (1).

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất $x = \frac{7}{3}$.

b) $2x - \frac{{2{x^2}}}{{x + 9}} = \frac{{4x}}{{x + 9}} + \frac{5}{9}$. (2)

Điều kiện xác định của phương trình là $x \ne - 9$.

Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được:

$\begin{array}{l}\frac{{18x\left( {x + 9} \right)}}{{9\left( {x + 9} \right)}} - \frac{{18{x^2}}}{{9\left( {x + 9} \right)}} = \frac{{36x}}{{9\left( {x + 9} \right)}} + \frac{{5\left( {x + 9} \right)}}{{9\left( {x + 9} \right)}}\\18{x^2} + 162x - 18{x^2} = 36x + 5x + 45\\162x - 36x - 5x = 45\\121x = 45\\x = \frac{{45}}{{121}}.\end{array}$

Ta thấy $x = \frac{{45}}{{121}}$ thỏa mãn điều kiện xác định nên nó là nghiệm của phương trình (2).

Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất $x = \frac{{45}}{{121}}$.

c) $\frac{{x + 3}}{{x + 1}} + \frac{{x - 4}}{{x - 1}} = 2$. (3)

Điều kiện xác định của phương trình là $x \ne - 1$ và $x \ne 1$.

Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được:

$\begin{array}{l}\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\{x^2} + 2x - 3 + {x^2} - 3x - 4 = 2{x^2} - 2\\ - x = 5\\x = - 5.\end{array}$

Ta thấy $x = - 5$ thỏa mãn điều kiện xác định nên nó là nghiệm của phương trình (3).

Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất $x = - 5$.

d) $\frac{{3x - 2}}{{x + 5}} = \frac{{6x + 1}}{{2x - 3}}$. (4)

Điều kiện xác định của phương trình $x \ne - 5$ và $x \ne \frac{3}{2}$.

Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được:

$\begin{array}{l}\frac{{\left( {3x - 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {6x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {2x - 3} \right)}}\\6{x^2} - 9x - 4x + 6 = 6{x^2} + 30x + x + 5\\ - 13x - 31x = - 1\\ - 44x = - 1\\x = \frac{1}{{44}}.\end{array}$

Ta thấy $x = \frac{1}{{44}}$ thỏa mãn điều kiện xác định nên nó là nghiệm của phương trình (4).

Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất $x = \frac{1}{{44}}$.