Bài 6.15 trang 19 Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá: Cho phương trình $3{x^2} - 10x + 3 = 0$. a) Không giải phương trình...

Cho phương trình $3{x^2} - 10x + 3 = 0$.

a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$.

b) Tính $(2{x_1} - 1)(2{x_2} - 1);\left| {{x_1} - {x_2}} \right|.$

Kiểm tra phương trình có nghiệm bằng cách tính denta.

Dựa vào: Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)$ thì:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}}\\{P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}}\end{array}} \right.$

a) Phương trình có a = 3; b = -10; c = 3

Ta có : $\Delta = {( - 10)^2} - 4.3.3 = 64 > 0$

Vậy phương trình có 2 nghiệm ${x_1},{x_2}$.

b) Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = {x_1} + {x_2} = \frac{{10}}{3}}\\{P = {x_1}{x_2} = 1}\end{array}} \right.$

$(2{x_1} - 1)(2{x_2} - 1) = 4{x_1}{x_2} - 2({x_1} + {x_2}) + 1 = 4.1 - 2.\frac{{10}}{3} = - \frac{8}{3}$

Ta có:

${\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}.{x_2} = {\left( {\frac{{10}}{3}} \right)^2} - 4.1 = - \frac{2}{3}$

Suy ra $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \left| {\sqrt {\frac{{64}}{9}} } \right| = \frac{8}{3}$.