Bài tập 1 trang 127 Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức: Xét biểu thức $P = \frac{{x\sqrt x - x + 2\sqrt x + 4}}{{x\sqrt x + 8}}$ với \(x \ge...

Xét biểu thức $P = \frac{{x\sqrt x - x + 2\sqrt x + 4}}{{x\sqrt x + 8}}$ với $x \ge 0$.

a) Chứng minh rằng $P = 1 - \frac{1}{{\sqrt x + 2}}$.

b) Tính giá trị biểu thức đã cho tại $x = 64$.

a) + Phân tích biểu thức tử thức thành nhân tử bằng cách tách hạng tử.

+ Phân tích biểu thức mẫu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức.

+ Rút gọn phân thức được $P = 1 - \frac{1}{{\sqrt x + 2}}$.

b) So sánh $x = 64$ với điều kiện, thay $x = 64$ vào P để tính giá trị P.

a) Với $x \ge 0$ ta có:

$P$$= \frac{{x\sqrt x - x + 2\sqrt x + 4}}{{x\sqrt x + 8}}$$= \frac{{x\sqrt x + x - 2x - 2\sqrt x + 4\sqrt x + 4}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} + {2^3}}}$$= \frac{{x\left( {\sqrt x + 1} \right) - 2\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 2\sqrt x + 4} \right)}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - 2\sqrt x + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {x - 2\sqrt x + 4} \right)}}$$= \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}$$= \frac{{\sqrt x + 2 - 1}}{{\sqrt x + 2}}$$= 1 - \frac{1}{{\sqrt x + 2}}$ (đpcm)

b) Với $x = 64$ (thỏa mãn điều kiện) thay vào P ta có: $P = 1 - \frac{1}{{\sqrt {64} + 2}} = 1 - \frac{1}{{10}} = \frac{9}{{10}}$.