Bài 4 trang 46 SBT Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo: Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:...

Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:

a) $f\left( x \right) = \frac{1}{{ - x - 5}}$

b) $f\left( x \right) = \left| {3{\rm{x}} - 1} \right|$

Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số

Bước 2: Lấy ${x_1},{x_2}$ tùy ý thuộc tập xác định, thay vào f(x) tính và so sánh biết:

Với hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng (a; b) thì ta có

+) Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) nếu $\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;b} \right),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$

+) Hàm số ngịch biến trên khoảng (a; b) nếu $\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;b} \right),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

Bước 3: Kết luận

a) Hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{ - x - 5}}$ xác định khi $- x - 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne  - 5$ nên $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 5} \right\}$

Lấy ${x_1},{x_2}$ là hai số tùy ý thuộc mỗi khoảng $\left( { - \infty ; - 5} \right),\left( { - 5; + \infty } \right)$, sao cho ${x_1} < {x_2}$, ta có:

$f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{ - {x_1} - 5}} - \frac{1}{{ - {x_2} - 5}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right)}}$

Do ${x_1} < {x_2}$ nên ${x_2} - {x_1} > 0$     (1)

Mặt khác, khi lấy x₁ và x₂cùng nhỏ hơn -5 hoặc cùng lớn hơn -5, ta đều có ${x_1} + 5$ và ${x_2} + 5$ luôn cùng dấu nên $\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right) > 0$ (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có $f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0$. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng  $\left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left( { - 5; + \infty } \right)$

b) Hàm số $f\left( x \right) = \left| {3{\rm{x}} - 1} \right|$ được viết lại như sau

$f\left( x \right) = \left| {3x - 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l}3x - 1{\rm{        }}\left( {{\rm{3}}x - 1 \ge 0} \right)\\ - \left( {3x - 1} \right){\rm{   }}\left( {{\rm{3}}x - 1 < 0} \right)\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l}3x - 1{\rm{    }}\left( {x \ge \frac{1}{3}} \right)\\ - 3x + 1{\rm{  }}\left( {x < \frac{1}{3}} \right)\end{array} \right.$

Xét hàm số $g\left( x \right) = 3x - 1$. Hàm số này xác định trên $\mathbb{R}$

Lấy${x_1},{x_2}$ là hai số tùy ý sao cho ${x_1} < {x_2}$, ta có:

${x_1} < {x_2} \Rightarrow 3{x_1} < 3{x_2} \Rightarrow 3{x_1} - 1 < 3{x_2} - 1 \Rightarrow g\left( {{x_1}} \right) < g\left( {{x_2}} \right)$

Suy ra hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left[ {\frac{1}{3}; + \infty } \right)$

Xét hàm số $h\left( x \right) =  - 3x + 1$. Hàm số này xác định trên $\mathbb{R}$

Lấy${x_1},{x_2}$ là hai số tùy ý sao cho ${x_1} < {x_2}$, ta có:

${x_1} < {x_2} \Rightarrow  - 3{x_1} >  - 3{x_2} \Rightarrow  - 3{x_1} + 1 >  - 3{x_2} + 1 \Rightarrow h\left( {{x_1}} \right) > h\left( {{x_2}} \right)$

Suy ra hàm số $h\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)$

Vậy hàm số $f\left( x \right) = \left| {3{\rm{x}} - 1} \right|$ nghịch biến trên $\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)$ và đồng biến trên $\left[ {\frac{1}{3}; + \infty } \right)$