Bài 7.55 trang 49 SBT Toán lớp 10 Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC với A( {1; - 1}, B {3;5},C {- 2;4} viết phương trình tham số của AB...

Cho tam giác ABC với $A\left( {1; - 1} \right),B\left( {3;5} \right),C\left( { - 2;4} \right)$

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

b) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC

c) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC

d) Tính sin của góc giữa hai đường thẳng AB và AC

+ Phương trình tham số của AB đi qua A và có vector chỉ phương là $\overrightarrow {AB}$

+ Phương trình đường cao AH đi qua A và có vector pháp tuyến là $\overrightarrow {BC}$

+ Khoảng cách từ 1 điểm $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ đến đường thẳng $d:ax + by + c = 0$ là:

$d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

+ $\left( {a;b} \right)$ và $\left( {c;d} \right)$ cùng là vector pháp tuyến hoặc chỉ phương của hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$. Góc giữa hai đường thẳng này được tính qua công thức:  $cos\varphi  = \frac{{\left| {ac + bd} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \sqrt {{c^2} + {d^2}} }}$

a) Phương trình tham số của AB đi qua A và có vector chỉ phương là $\overrightarrow {AB}  = \left( {2;6} \right) = 2\left( {1;3} \right)$

Phương trình tham số của AB đi qua $A\left( {1; - 1} \right)$ và có vector chỉ phương là $\left( {1;3} \right)$ là :$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 3t\end{array} \right.$

b) Phương trình đường cao AH đi qua A và có vector pháp tuyến là $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 1} \right)$ là: $5\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0 \Rightarrow 5x + y - 4 = 0$

c) Viết phương trình đường thẳng BC:

+ $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {1; - 5} \right) \Rightarrow BC:1\left( {x - 3} \right) - 5\left( {y - 5} \right) = 0 \Rightarrow BC:x - 5y + 22 = 0$

+ $d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {1 - 5\left( { - 1} \right) + 22} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2}} }} = \frac{{28}}{{\sqrt {26} }} = \frac{{14\sqrt {26} }}{{13}}$

d) $\overrightarrow {AB}  = \left( {2;6} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;5} \right) \Rightarrow cos\left( {AB,AC} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 3} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {85} }}$

$\Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt {1 - co{s^2}\alpha }  = \frac{7}{{\sqrt {85} }}$