Bài 1 trang 58 Toán 10 tập 1 – Cánh diều: a) (sqrt {2x - 3}=sqrt {2{x^2} - 3x - 1})...

Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt {2x - 3}=\sqrt {2{x^2} - 3x - 1}$

b) $\sqrt {4{x^2} - 6x - 6}  = \sqrt {{x^2} - 6}$

c) $\sqrt {x + 9}  = 2x - 3$

d) $\sqrt { - {x^2} + 4x - 2}  = 2 - x$

Phương trình dạng $\sqrt {f\left( x \right)}  = \sqrt {g\left( x \right)}$

Bước 1: Bình phương hai vế và đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

Bước 2: Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình $g\left( x \right) \ge 0$. Nghiệm nào thỏa mãn thì giữ lại, không thỏa mãn thì loại.

Bước 3: Kết luận nghiệm

Phương trình có dạng $\sqrt {f\left( x \right)}  = g\left( x \right)\left( {II} \right)$

Bước 1. Giải bất phương trình $g\left( x \right) \ge 0$ để tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.

Bước 2. Bình phương hai vế của phương trình rồi tìm tập nghiệm.

Bước 3. Trong những nghiệm của phương trình ở bước 2, ta chỉ giữ lại những nghiệm thuộc tập nghiệm của bất phương trình $g\left( x \right) \ge 0$. Tập nghiệm giữ lại đó chính là tập nghiệm của phương trình đã cho.

a) Bình phương hai vế ta được

$2{x^2} - 3x - 1 = 2x - 3$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x +2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}$

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình $2x - 3 \ge 0$ thì chỉ $x=2$ thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{2 \right\}$

b) Bình phương hai vế ta được

$\begin{array}{l}4{x^2} - 6x - 6 = {x^2} - 6\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}$

Thay các giá trị tìm được vào bất phương trình ${x^2} - 6 \ge 0$ thì thấy chỉ có nghiệm $x = 2$thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 2 \right\}$

c) $\sqrt {x + 9}  = 2x - 3$(*)

Ta có: $2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}$

Bình phương hai vế của (*) ta được:

$\begin{array}{l}x + 9 = {\left( {2x - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 9 = x + 9\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 13x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {KTM} \right)\\x = \frac{{13}}{4}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\frac{{13}}{4}} \right\}$

d) $\sqrt { - {x^2} + 4x - 2}  = 2 - x$(**)

Ta có: $2 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2$

Bình phương hai vế của (**) ta được:

$\begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 2 = {\left( {2 - x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow  - {x^2} + 4x - 2 = {x^2} - 4x + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 8x + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( {TM} \right)\\x = 3\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 1 \right\}$