Bài 6 trang 38 Toán 10 tập 1 – Cánh diều: Cho hàm số (y = frac{1}{x}). Chứng tỏ hàm số đã cho:...

Cho hàm số $y = \frac{1}{x}$. Chứng tỏ hàm số đã cho:

a) Nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$;

b) Nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$.

a) Lấy ${x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right)$ sao cho ${x_1} < {x_2}$. Chứng minh $f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

b) Lấy ${x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)$ sao cho ${x_1} < {x_2}$. Chứng minh $f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

a) Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.

Lấy ${x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right)$ sao cho ${x_1} < {x_2}$.

Xét $f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}$

Do ${x_1} < {x_2}$ nên ${x_2} - {x_1} > 0$

${x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow {x_1}{x_2} > 0$

$\Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

Vậy hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

b) Lấy ${x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)$ sao cho ${x_1} < {x_2}$.

Xét $f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}$

Do ${x_1} < {x_2}$ nên ${x_2} - {x_1} > 0$

${x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right) \Rightarrow {x_1}{x_2} > 0$(Cùng dấu âm nên tích cũng âm)

$\Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$

Vậy hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$.