Bài 5 trang 63 Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo: Cho đường tròn ((C)) có phương trình ({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0)...

Cho đường tròn $(C)$ có phương trình ${x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0$

a) Chứng tỏ rằng điểm $M(4;6)$ thuộc đường tròn $(C)$

b) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M(4;6)$

c) Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$song song với đường thẳng $4x + 3y + 2022 = 0$

a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn

                +) Nếu biểu thức đó bằng 0 thì M thuộc đường tròn

                +) Nếu biểu thức khác 0 thì M không thuộc đường tròn

b) Phương trình tiếp tuyến của đường trong tâm $I(a;b)$ tại điểm $M({x_0};{y_0})$nằm trên đường tròn là: $\left( {a - {x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {b - {y_0}} \right)\left( {y - {y_0}} \right) = 0$

c)            Bước 1: Xác định pt tổng quát của tiếp tuyến (biết hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng vt pháp tuyến)

                Bước 2: Xác định tiếp tuyến (biết khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính)

a) Thay điểm $M(4;6)$vào phương trình đường tròn ${x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0$

ta có:

${4^2} + {6^2} - 2.4 - 4.6 - 20 = 0$

Suy ra, điểm M thuộc đường tròn (C)

b) Đường tròn có tâm $I(1;2)$

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại $M(4;6)$ là:

$\begin{array}{l}\left( {4 - 1} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {6 - 2} \right)\left( {y - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 4y + 16 = 0\end{array}$

c) Tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng $4x + 3y + 2022 = 0$ nên phương trình có dạng $d:4x + 3y + c = 0$

Ta có tâm và bán kính của đường tròn là: $I(1;2),r = \sqrt {{1^2} + {2^2} + 20}  = 5$

Khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính nên: $d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {4.1 + 3.2 + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 15\\c =  - 35\end{array} \right.$

Vậy đường tròn (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng $4x + 3y + 2022 = 0$ là ${d_1}:4x + 3y + 15 = 0,{d_2}:4x + 3y - 35 = 0$