Bài 6 trang 127 Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Độ tuổi của 22 cầu thủ ở đội hình xuất phát của hai đội bóng đá được ghi lại ở bảng...

Độ tuổi của 22 cầu thủ ở đội hình xuất phát của hai đội bóng đá được ghi lại ở bảng sau:

 a) Hãy tìm số trung bình, mốt, độ lệch chuẩn và tứ phân vị của tuổi mỗi cầu thủ của từng đội bóng.

b) Tuổi của các cầu thủ ở đội bóng nào đồng đều hơn? Tại sao?

a)

+) Số trung bình: $\overline x  = \frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}$

+) Mốt: là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu.

+) Độ lệch chuẩn $S = \sqrt {{S^2}}$

Tính phương sai ${S^2} = \frac{1}{n}\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_n}^2} \right) - {\overline x ^2}$

+) Tứ phân vị: ${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: ${X_1},{X_2},...,{X_n}$

${Q_2} = {M_e} = \left\{ \begin{array}{l}{X_{k + 1}}\quad \quad \quad \quad \quad (n = 2k + 1)\\\frac{1}{2}({X_k} + {X_{k + 1}})\quad \;\,(n = 2k)\end{array} \right.$

${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái ${Q_2}$ (không bao gồm ${Q_2}$ nếu n lẻ)

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải ${Q_2}$ (không bao gồm ${Q_2}$ nếu n lẻ)

b)

So sánh độ lệch chuẩn, đội nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì tuổi của các cầu thủ là đồng đều hơn.

a) Đội A:

+) Số trung bình: $\overline x  = \frac{{28 + 24 + 26 + 25 + 25 + 23 + 20 + 29 + 21 + 24 + 24}}{{11}} = 24,45$

+) Mốt: ${M_o} = 24$

+) Phương sai ${S^2} = \frac{1}{{11}}\left( {{{28}^2} + {{24}^2} + ... + {{24}^2}} \right) - 24,{45^2} = 6,65$ => Độ lệch chuẩn $S = \sqrt {{S^2}}  \approx 2,58$

+) Tứ phân vị: ${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 20, 21, 23, 24, 24, 24, 25, 25, 26, 28, 29

${Q_2} = {M_e} = 24$

${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu: 20, 21, 23, 24, 24. Do đó ${Q_1} = 23$

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu: 25, 25, 26, 28, 29. Do đó ${Q_3} = 26$

Đội B:

+) Số trung bình: $\overline x  = \frac{{32 + 20 + 19 + 21 + 28 + 29 + 21 + 22 + 29 + 19 + 29}}{{11}} = 24,45$

+) Mốt: ${M_o} = 29$

+) Phương sai ${S^2} = \frac{1}{{11}}\left( {{{32}^2} + {{20}^2} + ... + {{29}^2}} \right) - 24,{45^2} = 22,12$ => Độ lệch chuẩn $S = \sqrt {{S^2}}  \approx 4,7$

+) Tứ phân vị: ${Q_1},{Q_2},{Q_3}$

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 19, 19, 20, 21, 21, 22, 28, 29, 29, 29, 32.

${Q_2} = {M_e} = 22$

${Q_1}$ là trung vị của nửa số liệu: 19, 19, 20, 21, 21. Do đó ${Q_1} = 20$

${Q_3}$ là trung vị của nửa số liệu: 28, 29, 29, 29, 32. Do đó ${Q_3} = 29$

b)

Ta so sánh độ lệch chuẩn $2,58 < 4,7$ do dó đội A có độ tuổi đồng đều hơn.

Chú ý

Ta không so sánh số trung vị vì không có giá trị nào quá lớn hay quá nhỏ so với các giá trị còn lại.