Bài 7.10 trang 41 Toán 10 – Kết nối tri thức: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(-2;-1)....

Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(-2;-1).

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng BC, sau đó tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.

b) Tính BC sau đó sử dụng công thức ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.d\left( {A,BC} \right).BC$.

a) Ta có: $\overrightarrow {{u_{BC}}}  = \overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {3; - 5} \right)$ . Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng BC là: $3\left( {x - 3} \right) - 5\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y + 1 = 0$.

Độ dài đường cao AK của tam giác $ABC$ hạ từ đỉnh A là: $AK = d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 0.5 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt {34} }}$

b) Ta có: $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 5; - 3} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {34}$

Diện tích tam giác ABC là: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AK.BC = \frac{1}{2}.\frac{4}{{\sqrt {34} }}.\sqrt {34}  = 2$