Bài 7.11 trang 41 Toán 10 – Kết nối tri thức: Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b ((a{rm{ }} ne {rm{ }}0) ) và d’:...

Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b ($a{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0$ ) và d’: y=a’x + b’ ($a'{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0$)  vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa’ = -1.

Chuyển mỗi phương trình của $d,d’$ về dạng tổng quát từ đó tìm được hai vecto pháp tuyến tương ứng của mỗi đường thẳng, sau đó sử dụng điều kiện $\overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_{d’}}}  = 0$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d,d’$ lần lượt là: $ax - y + b = 0,{\rm{ }}a’x - y + b’ = 0$.

Do đó $\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {a; - 1} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {{n_{d’}}}  = \left( {a’; - 1} \right)$.

Ta có $d \bot d’ \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_d}}  \bot \overrightarrow {{n_{d’}}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_{d’}}}  = 0 \Leftrightarrow a.a’ + \left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow a.a’ =  - 1$.