Mục 2 trang 50, 51, 52 Toán 10 tập 2 Kết nối tri thức: Giả sử thiết bị tại ({F_2}) nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại ({F_...

HĐ3

Giả sử thiết bị tại ${F_2}$ nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại ${F_1}$ là 2 giây và vận tốc âm thanh là $343m/s$.

a) Tìm mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới ${F_1},{F_2}$.

b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh có liên quan đến bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn $M{F_1} - M{F_2} = 686\left( m \right)$hay không?

a) Khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới${F_1},{F_2}$ là: $M{F_1}, M{F_2}$  với M là điểm đặt thiết bị âm thanh.

Rõ ràng $M{F_1} > M{F_2}$ do thiết bị tại ${F_2}$ nhận được tín hiệu sớm hơn.

b) Có liên quan.

Gọi t là thời gian thiết bị tại ${F_2}$ nhận được tín hiệu.

Ta có: $M{F_2}=t.343$

Tại ${F_1}$, thời gian thiết bị nhận được tín hiệu là: $t+2$

=> $M{F_1}=(t+2).343$

=> $M{F_1} -  M{F_2} =(t+2).343 - t.343=2.343=686$

Vậy tập hợp các điểm M mà tại đó phát ra tín hiệu âm thanh để thiết bị tại ${F_2}$ nhận được sớm hơn 2 giây thỏa mãn $M{F_1} -  M{F_2} =686$

Câu hỏi

Tại sao trong định nghĩa hypebol cần điều kiện a<c?

Giả sử $M{F_1} > M{F_2}$, ta có:

$\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = M{F_1} - M{F_2} = M{F_1} + {F_1}{F_2} - \left( {M{F_2} + {F_2}{F_1}} \right)$

Mà $M{F_2} + {F_2}{F_1}> M{F_1} \Rightarrow \left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| < M{F_1} + {F_1}{F_2} - M{F_1} = {F_1}{F_2}$

Hay $2a < 2c \Leftrightarrow a < c$

Luyện tập 3

 Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD (H725). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Ta cần chỉ ra các điểm A, B, C, D thỏa mãn 

$\left| {AM - AN} \right| = \left| {BM - BN} \right| = \left| {CM - CN} \right| = \left| {DM - DN} \right| < MN$.

Ta có: $AM = BM = CN = DN,AN = BN = CM = DM$. Từ đó suy ra

$\left| {AM - AN} \right| = \left| {BM - BN} \right| = \left| {CM - CN} \right| = \left| {DM - DN} \right|$.

Và $\left| {AM - AN} \right| <MN$ (bất đẳng thức trong tam giác)

Vậy bốn điểm $A,B,C,D$ cùng thuộc một đường hyperbol với M,N là hai tiêu điểm.

HĐ4

Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc O là trung điểm của ${F_1}{F_2}$, tia Ox trùng tia$O{F_2}$ , (H.7.26). Nêu toạ độ của các tiêu điềm ${F_1},{F_2}$. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi $\left| {\sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}}  - \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a$.

Ta có: $M{F_1} = \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} ,M{F_2} = \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}}$.Vậy để điểm M thuộc Hyperbol khi và chỉ khi $\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a$ hay$\left| {\sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}}  - \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a$

Luyện tập 4

Cho (H): $\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1$. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của (H).

Tìm $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}$, sau đó thay vào công thức xác định hai tiêu điểm và tiêu cự.

Ta có: $c = \sqrt {144 + 25}  = 13$.

Do đó (H) có hai tiêu điểm là ${F_1}\left( { - 13;0} \right),{F_2}\left( {13;0} \right)$ và  có tiêu cự bằng $2c = 26$.