Bài 7.18 trang 47 Toán 10 – Kết nối tri thức: Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện...

Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiệntrong mặt phẳng toạ độ. Theo đó, tại thời điểm t ( $$0{\rm{ }} \le t \le 180$$ ) vật thể ở vị trí có toạ độ $$\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}sin{t^o};{\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}cos{t^o}} \right)$$ . 

a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.

b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

a) Thay $t = 0$ và $t = 180$ để tìm tọa độ của chất điểm .

b) Khử $t$ bằng cách sử dụng đẳng thức ${\left( {\sin {t^o}} \right)^2} + {\left( {\cos {t^o}} \right)^2} = 1$.

a) Vị trí ban đầu ứng với $t = 0$, suy ra vật thể ở vị trí  có tọa độ là  $A\left( {2;5} \right)$.

Vị trí kết thúc ứng với $t = 180$ , suy ra vật thể ở vị trí có tọa độ là $B\left( {2;3} \right)$.

b) Từ đẳng thức  ${\left( {\sin {t^o}} \right)^2} + {\left( {\cos {t^o}} \right)^2} = 1$ ta suy ra ${\left( {{x_M} - 2} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = 1$

Do đó, M thuộc đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình  ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 1$

Đường tròn có tâm $I\left( {2;4} \right)$, bán kính $R = 1$ và nhận AB làm đường kính.

Khi $t \in \left[ {0;180} \right]$ thì $\sin t \in \left[ {0;1} \right]$ và $\cos t \in \left[ { - 1;1} \right]$. Do đó, $2 + \sin {t^o} \in \left[ {2;3} \right]$ và $4 + \cos {t^o} \in \left[ {3;5} \right]$.

Vậy quỹ đạo của  vật thể là nửa đường tròn đường kính AB vẽ trên nửa mặt phẳng chứa điểm $C\left( {3;0} \right)$ bờ AB.