Bài 43 trang 83 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho tam giác ${T_1}$ có diện tích bằngGiả sử có tam giác ${T_2}$ đồng dạng với tam giác ${T_1}$...

Cho tam giác ${T_1}$ có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác ${T_2}$ đồng dạng với tam giác ${T_1}$, tam giác ${T_3}$ đồng dạng với tam giác ${T_2}$, …, tam giác ${T_n}$ đồng dạng với tam giác ${T_{n - 1}}$ với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}{\rm{ }}\left( {k > 1} \right)$. Khi $n$ tiến tới vô cùng, tính tổng diện tích của tất cả các tam giác theo $k$.

Hai tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}$ thì tỉ số diện tích của hai tam giác đó là $\frac{1}{{{k^2}}}$.

Do \(\frac{1}{{{k^2}}}

Xét dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n}$ là diện tích tam giác ${T_n}$.

Nhận xét rằng hai tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}$ thì tỉ số diện tích của hai tam giác đó là $\frac{1}{{{k^2}}}$. Có nghĩa là, tam giác ${T_n}$ đồng dạng với tam giác ${T_{n - 1}}$ theo tỉ số $\frac{1}{k}$ thì tỉ số diện tích tam giác ${T_n}$ với tam giác ${T_{n - 1}}$ là $\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{1}{{{k^2}}}$.

Suy ra $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân với ${u_1} = 1$ và $q = \frac{1}{{{k^2}}}$.

Khi $n$ tiến tới vô cùng, thì tổng diện tích các tam giác đó là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng này có giá trị là $S = \frac{{u{\rm{\_1}}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{{k^2}}}}} = \frac{1}{{\frac{{{k^2} - 1}}{{{k^2}}}}} = \frac{{{k^2}}}{{{k^2} - 1}}$.