Bài 45 trang 83 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}{\rm{ }}\left( {x \ne 2} \right)\\a{\rm{ }}\left( {x...

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}{\rm{ }}\left( {x \ne 2} \right)\\a{\rm{ }}\left( {x = 2} \right)\end{array} \right.$.

Tìm $a$ để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

Nhận xét rằng hàm số liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ,2} \right)$ và $\left( {2, + \infty } \right)$. Do đó để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số liên tục tại $x = 2$.

Với $x \ne 2$, ta có $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}$ là hàm phân thức nên nó liên tục trên từng khoảng xác định, tức $f\left( x \right)$ liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ,2} \right)$ và $\left( {2, + \infty } \right)$.

Do đó để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số liên tục tại $x = 2$. Điều này tương đương với $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 4$, và $f\left( 2 \right) = a$.

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow a = 4$.