Bài 7 trang 65 SBT Toán 11 - Cánh diều: Chứng minh rằng hàm số $f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right|$ không có đạo hàm tại điểm...

Chứng minh rằng hàm số $f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right|$ không có đạo hàm tại điểm ${x_0} = 2,$ nhưng có đạo hàm tại mọi điểm $x \ne 2.$

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = a$ thì $f’\left( {{x_0}} \right) = a.$

* Xét $x > 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right| = x - 2.$

Tại ${x_0} \in \left( {2; + \infty } \right)$ tùy ý, gọi $\Delta x$ là số gia của biến số tại ${x_0}.$

$\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + \Delta x - 2 - {x_0} + 2 = \Delta x.\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta x}} = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 1 = 1.\end{array}$

$\Rightarrow f’\left( x \right) = 1.$

* Xét \(x

Tại ${x_0} \in \left( { - \infty ; - 2} \right)$ tùy ý, gọi $\Delta x$ là số gia của biến số tại ${x_0}.$

$\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = 2 - \left( {{x_0} + \Delta x} \right) + {x_0} - 2 = - \Delta x.\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{ - \Delta x}}{{\Delta x}} = - 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} - 1 = - 1.\end{array}$

$\Rightarrow f’\left( x \right) = - 1.$

* Xét tại $x = 2,$ gọi $\Delta x$ là số gia của biến số tại ${x_0} = 2.$

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 1 = 1 \ne \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} - 1 = - 1.$

Suy ra không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x = 2.$