Dùng định nghĩa, xét tính liên tục của hàm số:
a) \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\) tại điểm \(x = - 2\);
b) \(f\left( x \right) = \sqrt {3x + 2} \) tại điểm \(x = 0\).
Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để xét tính liên tục của hàm số: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng K và \({x_0} \in K\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).
a) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\), chứa điểm \( - 2\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^3} - 3x + 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^3} - 3\left( { - 2} \right) + 2 = - 8 + 6 + 2 = 0\)
\(f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^3} - 3\left( { - 2} \right) + 2 = - 8 + 6 + 2 = 0\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\) nên hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\) liên tục tại điểm \(x = - 2\).
b) Tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {\frac{{ - 2}}{3}; + \infty } \right)\), chứa điểm 0.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sqrt {3x + 2} = \sqrt {3.0 + 2} = \sqrt 2 \); \(f\left( 0 \right) = \sqrt {3.0 + 2} = \sqrt 2 \)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\) nên hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {3x + 2} \) liên tục tại điểm \(x = 0\).