Bài 1 trang 90 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Dùng định nghĩa, xét tính liên tục của hàm số...

Dùng định nghĩa, xét tính liên tục của hàm số:

a) $f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2$ tại điểm $x = - 2$;

b) $f\left( x \right) = \sqrt {3x + 2}$ tại điểm $x = 0$.

Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để xét tính liên tục của hàm số: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng K và ${x_0} \in K$. Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục tại điểm ${x_0}$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$, chứa điểm $- 2$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^3} - 3x + 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^3} - 3\left( { - 2} \right) + 2 = - 8 + 6 + 2 = 0$

$f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^3} - 3\left( { - 2} \right) + 2 = - 8 + 6 + 2 = 0$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$ nên hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2$ liên tục tại điểm $x = - 2$.

b) Tập xác định của hàm số là $D = \left[ {\frac{{ - 2}}{3}; + \infty } \right)$, chứa điểm 0.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sqrt {3x + 2} = \sqrt {3.0 + 2} = \sqrt 2$; $f\left( 0 \right) = \sqrt {3.0 + 2} = \sqrt 2$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$ nên hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {3x + 2}$ liên tục tại điểm $x = 0$.