Cho hàm số f(x)=2x+1x−3.
a) Xét tính liên tục của hàm số đã cho.
b) Tìm các giới hạn lim.
a) Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để xét tính liên tục của hàm số: Cho hàm số y = f\left( x \right) xác định trên khoảng K và {x_0} \in K. Hàm số y = f\left( x \right) được gọi là liên tục tại điểm {x_0} nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)
b) + Sử dụng kiến thức về của hàm số để tính:
- Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L > 0 và \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } g\left( x \right) = - \infty thì \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = - \infty
- Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L > 0 và \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g\left( x \right) = + \infty thì \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = + \infty
Advertisements (Quảng cáo)
+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới của hàm số tại vô cực để tính: Cho \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g\left( x \right) = M, khi đó: \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M, \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{L}{M}
+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn cơ bản để tính: \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0 (với c là hằng số, k là số nguyên dương)
a) Hàm số f(x) xác định khi x - 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3. Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là D = \left( { - \infty ;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right). Suy ra, hàm số f(x) liên tục trên \left( { - \infty ;3} \right) và \left( {3; + \infty } \right).
b) \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{3}{x}}} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{3}{x}}} = 2.
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {2x + 1} \right) = 2.3 + 1 = 7 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{1}{{x - 3}} = + \infty
Suy ra \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left[ {\left( {2x + 1} \right).\frac{1}{{x - 3}}} \right] = + \infty
Lại có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 2.3 + 1 = 7 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}} = - \infty
Suy ra \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left[ {\left( {2x + 1} \right).\frac{1}{{x - 3}}} \right] = - \infty