Biết rằng, từ vị trí A, một mũi tên bay với tốc độ 10m/s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị trí B cách vị trí A một khoảng bằng 10m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: “Để đến được B, trước hết mũi tên phải đến trung điểm \({A_1}\) của AB. Tiếp theo, nó phải đến trung điểm \({A_2}\) của \({A_1}B\). Tiếp nữa, nó phải đi đến trung điểm \({A_3}\) của \({A_2}B\). Cứ tiếp tục như vậy, vì không bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể đến được mục tiêu ở B”.
Lập luận trên có đúng không? Nếu không, hãy chỉ chỗ ra sai lầm.
Sử dụng kiến thức về tổng của cấp số nhân lùi vô hạn để tính tổng: Cấp số nhân vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội q thỏa mãn \(\left| q \right|
Thời gian để mũi tên bay từ A đến \({A_1}\) là \(\frac{1}{2}\) giây, từ \({A_1}\) đến \({A_2}\) là \(\frac{1}{4} = \frac{1}{{{2^2}}}\) giây, từ \({A_2}\) đến \({A_3}\) là \(\frac{1}{8} = \frac{1}{{{2^3}}}\) giây\(,...\)
Tổng thời gian bay của mũi tên là: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}} + ...\left( * \right)\)
Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là \(\frac{1}{2}\) và công bội bằng \(\frac{1}{2}\).
Do đó, tổng này bằng: \(\frac{1}{2}.\frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1\) (giây)
Như vậy, mũi tên đến bia mục tiêu sau 1 giây.
Lập luận của nhà thông thái là không đúng, sai lầm ở chỗ cho rằng tổng ở (*) không phải là một số hữu hạn.