Bài 12 trang 95 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính $AB = 10m$...

Tại một bể bơi có dạng hình tròn có đường kính $AB = 10m$, một người xuất phát từ A bơi thẳng theo dây cung AC tạo với đường kính AB một góc \(\alpha \left( {0

a) Viết công thức tính $S\left( \alpha \right)$ theo \(\alpha \left( {0

b) Xét tính liên tục của hàm số $y = S\left( \alpha \right)$ trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

c) Tính các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {0^ + }} S\left( \alpha \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} S\left( \alpha \right)$.

Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số để tính: Cho $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g\left( x \right) = M$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right] = L \pm M$.

a) Kí hiệu O là tâm hình tròn.

Do tam giác ABC vuông tại C nên $AC = AB\cos \alpha = 10\cos \alpha \left( m \right)$

Ta có: $\widehat {BOC} = 2\widehat {BAC} = 2\alpha$ nên độ dài cung BC là: $l = OB.\widehat {BOC} = 5.2\alpha = 10\alpha \left( m \right)$

Quãng đường di chuyển của người đó là:

$S\left( \alpha \right) = AC + l = 10\cos \alpha + 10\alpha = 10\left( {\cos \alpha + \alpha } \right)$(m) \(\left( {0

b) Do các hàm số $y = \alpha ,y = \cos \alpha$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số $y = S\left( \alpha \right)$ liên tục trên $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {0^ + }} S\left( \alpha \right) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {0^ + }} 10\left( {\alpha + \cos \alpha } \right) = 10\left( {\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {0^ + }} \alpha + \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \cos \alpha } \right) = 10\left( {0 + 1} \right) = 10$

$\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} S\left( \alpha \right) = \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} 10\left( {\alpha + \cos \alpha } \right) = 10\left( {\mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \alpha + \mathop {\lim }\limits_{\alpha \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \cos \alpha } \right) = 10\left( {\frac{\pi }{2} + 0} \right) = 5\pi$