Bài 1 trang 93 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Tìm các giới hạn sau: $\lim \frac{{n\left( {2{n^2} + 3} \right)}}{{4{n^3} + 1}}$; \(\lim \left[ {\sqrt n \left( {\sqrt {n...

Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{{n\left( {2{n^2} + 3} \right)}}{{4{n^3} + 1}}$;

b) $\lim \left[ {\sqrt n \left( {\sqrt {n + 5} - \sqrt {n + 1} } \right)} \right]$.

+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho $\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b$ và c là hằng số: $\lim \left( {{u_n} \pm {v_n}} \right) = a \pm b$, $\lim \left( {c.{u_n}} \right) = c.a$, $\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b$, $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)$.

+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: $\lim \frac{c}{{{n^k}}} = 0$ với k là số nguyên dương, $\lim c = c$ (c là hằng số)

a) $\lim \frac{{n\left( {2{n^2} + 3} \right)}}{{4{n^3} + 1}} = \lim \frac{{2 + \frac{3}{{{n^2}}}}}{{4 + \frac{1}{{{n^3}}}}} = \frac{{2 + \lim \frac{3}{{{n^2}}}}}{{4 + \lim \frac{1}{{{n^3}}}}} = \frac{1}{2}$;

b) $\lim \left[ {\sqrt n \left( {\sqrt {n + 5} - \sqrt {n + 1} } \right)} \right] = \lim \frac{{\sqrt n \left( {\sqrt {n + 5} - \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} } \right)}}$

$= \lim \frac{{4\sqrt n }}{{\sqrt {n + 5} + \sqrt {n + 1} }} = \lim \frac{4}{{\sqrt {1 + \frac{5}{n}} + \sqrt {1 + \frac{1}{n}} }} = \frac{4}{{\sqrt {1 + \lim \frac{5}{n}} + \sqrt {1 + \lim \frac{1}{n}} }} = \frac{4}{{1 + 1}} = 2$