Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo Bài 10 trang 85 SBT Toán 11 – Chân trời sáng tạo...

Bài 10 trang 85 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Tính các giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 2{x^2} - 1} \right)\); \(\mathop...

Sử dụng kiến thức về quy tắc tính giới hạn vô cực để tính: a) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L > 0. Giải chi tiết - Bài 10 trang 85 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 - Bài 2. Giới hạn của hàm số. Tính các giới hạn sau: a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 2{x^2} - 1} \right)\); b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + 2{x^2}}}{{3{x^2} + 1}}\); c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty...

Question - Câu hỏi/Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 2{x^2} - 1} \right)\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + 2{x^2}}}{{3{x^2} + 1}}\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \).

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

Sử dụng kiến thức về quy tắc tính giới hạn vô cực để tính:

a) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = - \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = - \infty \)

b) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = + \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = + \infty \)

c) Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = + \infty \) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = + \infty \)

Answer - Lời giải/Đáp án

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 2{x^2} - 1} \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right]\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} \) \( = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x} - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^3}}} \) \( = 1 > 0\)

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 2{x^2} - 1} \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] \) \( = - \infty \)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + 2{x^2}}}{{3{x^2} + 1}} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x.\frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{3 + \frac{1}{{{x^2}}}}}} \right]\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x \) \( = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{3 + \frac{1}{{{x^2}}}}} \) \( = \frac{{1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{x}}}{{3 + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^2}}}}} \) \( = \frac{1}{3} > 0\)

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} + 2{x^2}}}{{3{x^2} + 1}} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x.\frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{3 + \frac{1}{{{x^2}}}}}} \right] \) \( = + \infty \)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right] \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - x\sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right]\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x} \right) \) \( = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \) \( = \sqrt {1 - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{3}{{{x^2}}}} \) \( = 1 > 0\)

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ { - x\sqrt {1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}} } \right] \) \( = + \infty \)