Tùy theo giá trị của \(a > 0\), tìm giới hạn \(\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}}\).
+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \(\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b\) và c là hằng số: \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b\), \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về một số giới hạn cơ bản để tính: \(\lim {q^n} = 0\) (q là số thực, \(\left| q \right|
Nếu \(0
Nếu \(a = 1\) thì \(\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \lim \frac{{{1^n}}}{{{1^n} + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}\).
Nếu \(a > 1\) thì \(\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^n}}}\).
Vì \(a > 1\) nên \(0
Do đó, \(\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^n}}} = \frac{1}{{1 + \lim {{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^n}}} = \frac{1}{{1 + 0}} = 1\)