Bài 7 trang 76 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Tùy theo giá trị của $a > 0$, tìm giới hạn $\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}}$...

Tùy theo giá trị của $a > 0$, tìm giới hạn $\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}}$.

+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho $\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b$ và c là hằng số: $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b$, $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)$.

+ Sử dụng kiến thức về một số giới hạn cơ bản để tính: $\lim {q^n} = 0$ (q là số thực, \(\left| q \right|

Nếu \(0

Nếu $a = 1$ thì $\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \lim \frac{{{1^n}}}{{{1^n} + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}$.

Nếu $a > 1$ thì $\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^n}}}$.

Vì $a > 1$ nên \(0

Do đó, $\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}} = \lim \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^n}}} = \frac{1}{{1 + \lim {{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^n}}} = \frac{1}{{1 + 0}} = 1$