Bài 6 trang 94 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau...

Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:

Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích $\frac{1}{4}$).

Bước 2: Làm tương tự bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{{{4^2}}}$)

Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi ${3^{n - 1}}$ tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{{{4^n}}}$). Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi.

Sử dụng kiến thức về tổng của cấp số nhân lùi vô hạn để tính: Cấp số nhân vô hạn $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội q thỏa mãn \(\left| q \right|

Tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi là:

$S = \frac{1}{4} + 3.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + {3^2}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} + ... + {3^n}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n + 1}} + ... = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}.\frac{3}{4} + \frac{1}{4}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} + ... + \frac{1}{4}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^n} + ...$

Tổng trên là tổng của các số hạng lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu ${u_1} = \frac{1}{4}$, công bội $q = \frac{3}{4}$. Do đó, $S = \frac{1}{4}.\frac{1}{{1 - \frac{3}{4}}} = 1$.