Mỗi giới hạn sau có tồn tại không? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó.
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left| {x - 2} \right|}}\).
Sử dụng kiến thức về giới hạn một phía để tính:
+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = L\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\)
+ Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)\) thì không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\).
a) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{x^2}}}{{ - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x} \right) = 0\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}} = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{\left| x \right|}} = 0\);
b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left| {x - 2} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{2 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( { - x} \right) = - 2\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left| {x - 2} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} x = 2\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left| {x - 2} \right|}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left| {x - 2} \right|}}\) nên không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 2x}}{{\left| {x - 2} \right|}}\).